多维随机变量的数字特征 21.2.20 性质3.32设n维随机变量(3132,,k)的方 差D(都存在,则 DO∑5)=∑D(5)+2∑E5-E(川5-E(5 l, ≠ 若51,2…,相互独立,则 ∑5)=∑D(5 证明∵D∑5)=E{∑5-∑E(5)
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 性质3.3.2 设n维随机变量(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )的方 差D(ξi )都存在，则 = = = = + − − n j i i j i i j j n i i n i D i D E E E 1 1 , 1 ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]} 若ξ1 ,ξ2 ,…,ξn相互独立，则 = = = n i i n i D i D 1 1 ( ) ( ) 证明 ( ) {[ ( )] } 2 1 1 1 = = = = − n i i n i i n i D i E E
多维随机变量的数字特征 21.2.20 E{(51-E(5)} ∑E5-E(+2∑E5-E(川5-E(册 ≠ 若i=1,,n相互独立,则 E()=E(5)E(;),i≠j →E151-E(川5/-E(5那 =E(55)-E引)E(5)=0,ij 故有D(∑5)=∑D(5) i=1
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 {[ ( ( ))] } 2 1 = = − n i E i E i = = = − + − − n j i i j i i j j n i E i E i E E E 1 , 1 2 {[ ( )] } 2 {[ ( )][ ( )]} 若ξi , i=1,2,…n 相互独立，则 E E E i j ( i j ) = ( i ) ( j ), {[ ( )][ ( )]} E i E i j E j − − E E E i j = ( i j ) − ( i ) ( j ) = 0, = = = n i i n i D i D 1 1 故 有 ( ) ( )
多维随机变量的数字特征 21.2.20 注将方差性质 D(a)=a2D(2) 应用于性质322,可得讲义P219中公式 (34.5)和(34.6) 思考条件 15525 相互独立”能否减弱? 例334例335例336 例337 练习题
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 思考 条件“ξ1 ,ξ2 ,…,ξn相互独立”能否减弱？ 注 将方差性质 ( ) ( ) 2 D a = a D 例 3.3.4 例 3.3.5 例 3.3.6 应用于性质3.2.2 ，可得讲义P219中公式 （3.4.5）和（3.4.6）. 例 3.3.7 练习题
多维随机变量的数字特征 21.2.20 三协方差与相关系数 下面介绍的协方差、相关系数是描述随 机变量之间相互关系的数字特征 D(3+n)= D()+D()+2E{k-E(3)川-E()} D(3-y)= D()+D(y)-2E{|-E(9|-E()
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 三. 协方差与相关系数 下面介绍的协方差、相关系数是描述随 机变量之间相互关系的数字特征. D(ξ＋η)= D(ξ) ＋D(η)+ 2E{[ξ－E(ξ)][η －E(η)]} D(ξ−η)= D(ξ) ＋D(η)−2E{[ξ－E(ξ)][η －E(η)]}
多维随机变量的数字特征 21.2.20 定义3.3.1若E{k-E(川-E(q)存在 称 Cov(,)=E{|-E()|-E(T) 为随机变量(,)的协方差(二阶混合中心矩) 有D(=Cou(,2) D(士)=D()+D(q)士2Co(3,y) 性质333协方差性质 1对称性Cov(2,)=Cov(,5);
多维随机变量的数字特征 电子科技大学 21.2.20 定义3.3.1 若E{[ξ－E(ξ)][η－E(η)]}存在， 称 Cov(ξ,η)=E{[ξ－E(ξ)][η－E(η)]} 为随机变量(ξ,η)的协方差(二阶混合中心矩). 有 D(ξ)= Cov(ξ, ξ )； D(ξ士η)=D(ξ)+D(η)士2Cov(ξ,η ) 性质3.3.3 协方差性质 1) 对称性 Cov(ξ,η )＝ Cov(η,ξ ) ；