第入章 拉普拉斯变换
§8.1拉普拉斯变换定义 定义8.1设函数)当t≥0时有定义，而且积分 00 f(t)e-"dt 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的 函数记为 Fs-Lns∫f)e"dt 称为函数的t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为t)的拉 普拉斯变换（或称为象函数） 若F(s)是)的拉普拉斯变换，则称)为F(s)的拉 普拉斯逆变换（或称为原象函数），记作 t)=L1[F可(t)
§8.1 拉普拉斯变换定义 定义8.1 设函数f(t)当 时有定义，而且积分 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的 函数记为 F(s)=L[f](s)= . 称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉 普拉斯变换(或称为象函数). t 0 0 ( )e dst f t t − 0 ( )e dst f t t − 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉 普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作 f(t)= L-1 [F](t)
例8.1求阶跃函数u() 6?心6的拉苦拉斯空换 躲： e LLu(s)=fc "dr=- 三一 S 例8.2求函数t)=ea的拉普拉斯变换，其中a是复常数. 解：当Re(s>Re(a)时， )-Je"e 即】 e Re(s)>Re(a)
例8.1 求阶跃函数u(t)= 的拉普拉斯变换. 1, 0; 0, 0 t t 解： L[u](s)= 0 0 e 1 ( )e d st st f t t s s − − = − = 例8.2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数. 解： 当Re(s)>Re(a)时， L[f](s)= ( ) 0 0 1 1 e e d e at st s a t s a s a − − − − = = − − 即 L[eatu(t)](s)= , Re(s)>Re(a) 1 s a −
例8.3求函数的拉普拉斯变换，其中n是正整数. 解：L[t四](s)=tedt 用分部积分法，得 n I"-1 S 0 所以有L[]=L["-], 当n=l时L[t(s)= 2 当n=2时，有L[t](s)= n! L[t](s)=
例8.3 求函数t n的拉普拉斯变换，其中n是正整数. 解：L[t n ](s)= 0 e d n st t t − 用分部积分法，得 1 1 0 0 0 e d e e d e d n n st st n st n st t n n t t t t t t s s s − − − − − − = − + = 所以有 L[t n ]= L[t n-1 ]. 当n=1时 L[t](s)= 2 1 s 当n=2时，有 L[t 2 ](s)= 3 2 s L[t n ](s)= 1 ! n n s +
定理8.1若函数t)满足下列条件： (1)在仑0的任意有限区间上分段连续； (2)存在常数心0与o≥0，使得 f(t)≤Meo,t>0 即当t→∞时，函数t)的增长速度不超过某一个指数 函数，ō称为函数t)的增长指数.则函数t)的拉普拉 斯变换 F()=「ft)e"dr 在半平面Re(s)>oo上存在，右端的积分在闭区域Re(s) ≥o>oo上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re(s) >oo内，F(s)为解析函数
定理8.1若函数f(t)满足下列条件： (1) 在t0的任意有限区间上分段连续； (2) 存在常数M>0与00，使得 即当t→时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数 函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉 斯变换 在半平面Re(s)> 0上存在，右端的积分在闭区域Re (s) > 0 上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re (s) > 0 内，F(s)为解析函数. 0 ( ) e , 0 t f t M t 0 ( ) ( )e dst F s f t t − =