第一章 第7节 无穷小的比穀 引例.x→0时，x,x2,six都是无穷小，但 lim 0 lim =1, x→>0Snx x→>0 X sinx lim x-→0 可见无穷小趋于0的速度是多样的 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 x → 0时, x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第7节 引例 . x x x sin lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x sin lim →0 =1, 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较
定义设α(x),B(x)是自变量同一变化过程中的无穷小， (1)若1m a(x) =O,则称x)是比(x)高阶的无穷小 记为阝=o() (2)若m B(x)- a(x) ∞，则称B(x)是比C(x)低阶的无穷小 (3)若1m B(x) =C≠0，则称xx)和B(x)是同阶无穷小 a(x) (4)若1im βx) =C≠0，则称B(x)是关于心(x)的k阶无穷小 [a(x)] (5)若lm B) =1,则称α(x)和B(x)是等价无穷小 a(x) 记为a(x)~(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 0, [ ( )] ( ) lim = C x x k 定义 0, ( ) ( ) lim = x x (1)若 则称 (x) 是比 (x) 高阶的无穷小, = o() , ( ) ( ) lim = x x (2)若 (3)若 (4)若 1, ( ) ( ) lim = x x (5)若 (x) ~ (x) 0, ( ) ( ) lim = C x x 设 (x), (x) 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记为 则称 (x)是比 (x) 低阶的无穷小 则称 (x)和 (x)是同阶无穷小 则称 (x)是关于 (x)的 k 阶无穷小 则称 (x) 和 (x) 是等价无穷小, 记为
例如，当x→0时 x3=0(6x2); Slnx心x；tanx~x arcsinx ~x 又如 lim 1-cosx lim 2sin22=1-0=0 x→0 x x->0 故x→0时1-Cosx是比x高阶的无穷小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x x x x 1 cos lim 0 − → x x x 2 2 0 2sin lim → = 又如 ， =10 = 0 故 时 是比 x高阶的无穷小
定理1与是等价无穷小的充分必要条件是 B=a+o(a) 证：a~阝二 im=】 1im(2-1)=0,即1im-&=0 =阝-a=o(C),即B=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx心x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ～ 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是 β＝α＋o(α) 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x)
定理2设a,B,y,a,B,y*为在同一变化过程中 的非零无穷小，且aa,B~,y一y,则有 lim B=lin 证：mB☑ lim a"a B" lim BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2 设α，β，γ，α * ，β * ，γ *为在同一变化过程中 的非零无穷小，且α～α * ，β～β * ，γ～γ * ，则有 lim lim . * * * = 证: lim = * * * * * * lim lim 1 1 1 * * * = lim . * * * =