第6为 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 极限存在准则 二、两个重要极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第6节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
一、极限存在准则 准则I 如果数列，{x,},{yn和{z满足 (1)Jym≤xm≤m(n=1,2,3,…) (2) lim y lim=a, n→0∞ 则数列 x的极限存在，且 lim x =a n→o0 准则I称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、极限存在准则 准则Ⅰ称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形. 准则Ⅰ 如果数列， 满足 (1) yn≤xn≤zn (n＝1,2,3， …)； (2) 则数列 的极限存在，且 lim y lim z a, n n n n = = → → lim x a. n n = →
准则I 如果函数x),gc),hc)满足 (I)当x∈U(x,δ)时，g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x>X>0) (2)lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0） (x→o) lim f(x)=4 x->X0 (x>∞） 准则I 单调有界数列必有极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 准则Ⅰ′ 如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足 (1) ( , ) , 当 x U x0 时 g x h x A x x x x = = → → (2) lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限．
例1.6.1设x。= n2+2 +++n 求lim n-→0 n.n .n 解：由于 <xn< n+nπ n+π 1 又lim =lim =1, n-→on2+n元 n-→0 π 1+ n 1 -1, n-→on+π 7n→00 π 1+ 由夹逼定理知 lim =1. n→00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C④8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.1 解: 由于 又 由夹逼定理知
二、两个重要极限 I.lim sin x =1 x→0 X 证：当x∈(0，)时 △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 asinx<tan x 故有 sin x cos x (0<x<) sinx 显然有 cosx<s1nx<1(0<x<〉 X sin x '.lim cosx =1. 注 lim =1 x→0 x→0 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 注 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 π x x x x (0, ) 2 π x 时， (0 ) 2 π 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 O B A x 1 D C