第九章 快速傅里叶变换
§9.1离散时间傅里叶变换 1.DTFT及DTFT的定义 离散时间傅里叶变换DTFT)及逆变换(DTFT) 的定义为 DTFT:X(e)=∑x(n)ema IT)-2元d 表示纯虚数单位，即是2=-1，X()是关于实数w的 一个复值函数，用直角坐标可以表示为： X(e)=Re(Y(e))+jIm(Y(e)): 用极坐标可以表示为： X(e)=Y(e)e)
§9.1 离散时间傅里叶变换 1. DTFT及IDTFT的定义 离散时间傅里叶变换(DTFT)及逆变换(IDTFT) 的定义为： DTFT: IDTFT: (e ) ( )e j jn X x n − − = π π 1 ( ) (e )e d 2π j jn x n X − = j表示纯虚数单位，即是j 2=-1， X(ejw)是关于实数w的 一个复值函数，用直角坐标可以表示为： 用极坐标可以表示为： (e ) Re( (e )) Im( (e )); j j j X X j X = + ( ) (e ) (e ) e j j j X X =
X(e)=X(e) 其中X(e°)称为幅度函数，0(o)称为相位函数，都是 关于o的实值函数.通常，也将傅里叶变换称为傅里叶 谱，相应地，将X(e)称为幅度谱，(o)称为相位谱 当相位函数相差2π时，它的傅里叶变换是保持 不变的即 X(e)=X(e)e)=Y(e)e2) 对任意一个傅里叶变换，相位函数是不能被唯 一确定的.一般地，假定相位函数(o)在区域[-π，) 内，该区域称为主值域
其中 称为幅度函数， 称为相位函数，都是 关于的实值函数.通常，也将傅里叶变换称为傅里叶 谱，相应地，将 称为幅度谱， 称为相位谱. (e ) j X ( ) (e ) j X ( ) ( ) (e ) (e ) e j j j X X = 当相位函数相差2k时，它的傅里叶变换是保持 不变的.即 ( ) ( ( ) 2 π (e ) (e ) e (e ) e ) j j j j j k X X X + = = 对任意一个傅里叶变换，相位函数是不能被唯 一确定的.一般地，假定相位函数 在区域 [-, ) 内，该区域称为主值域. ( )
2.DTFT的性质 设离散时间序列g(n),h(n),x(n)的离散时间傅里叶变换分 别为G(e/o)H(eo)和X(eo) (1)线性 设(n)=ag(n)+bh(n),则其离散时间傅里叶变换为 L(e)=aG(e)+bH(e) (2)平移性 a时移性 设l(n)=g(n-no),则其离散时间傅里叶变换为 L(e)=e jG(e). b.频移性 设(n)尸e,g(n),则其离散时间傅里叶变换为 L(e)=G(e)
2. DTFT的性质 设离散时间序列g(n),h(n),x(n)的离散时间傅里叶变换分 别为 G(e ) j , H(e ) j 和 (e ) j X (1)线性 设l(n)=ag(n)+bh(n)，则其离散时间傅里叶变换为 (e ) (e ) (e ). j j j L aG bH = + (2)平移性 a.时移性 设l(n)=g(n-n0 )，则其离散时间傅里叶变换为 b.频移性 设l(n)= g(n)，则其离散时间傅里叶变换为 0 (e ) e (e ). j j j n L G − = 0 e j n 0 ( ) (e ) (e ) j j L G − =
(3)频域微分性 设l(n)=ng(n),则其离散时间傅里叶变换为 L()= dG(e) (4)卷积性质 dw 设l(n)-g(n)h(n),则其离散时间傅里叶变换为 L(ejo)=G(e)H(e). (⑤)调制性质 设(n)-(n)h(n),则其离散时间傅里叶变换为 (e)=2元JGeH(eoaa (6)帕斯瓦尔关系 设h*(n)为h(n)的共轭，H*(eo为H(e的共轭，则 ∑gwh*w=2元J.Ge)H*(ea
(3)频域微分性 设l(n)=ng(n)，则其离散时间傅里叶变换为 d (e ) (e ) d j j G L j = (4)卷积性质 设l(n)=g(n)h(n)，则其离散时间傅里叶变换为 ( ) (e ) (e ). j j L ej G H = (5)调制性质 设l(n)=g(n)h(n)，则其离散时间傅里叶变换为 π ( ) π 1 (e ) (e ) (e )d . 2π j j j L G H − − = (6)帕斯瓦尔关系 设h*(n)为h(n)的共轭, *(e ) 为 的共轭, 则 j H (e ) j H π π 1 ( ) *( ) (e ) *(e )d . 2π j j g n h n G H − − =