第一章 第9为 闭区间上连渎岛教的性质 定理1最大值最小值定理 定理2有界性定理 定理3介值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第9节 定理1 最大值最小值定理 定理2 有界性定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 定理3 介值定理
定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值 即：设f(x)∈C[a,b],则351,52∈[a,b],使 f()=min,f(x) =(x)》 a≤x≤b f(52)=max f(x) a≤x≤b as b x 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值. 即: 设 f (x)C[a, b], 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb = ( ) max ( ) 2 f f x a xb = 或在闭区间内有间断 点 , x y a b y = f (x) O
例如， y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1, 0≤x<1 1,x=1 f)=1-x+3,1<xs2 也无最大值和最小值 2 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1
定理2（有界性定理）闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M=max f(x),m=min x∈[a,b] f(x)y=f(x) xela,b] M 故x∈[a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 0a5152bx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 m M 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b = min ( ) [ , ] m f x x a b = 证: 设 上有界 . 定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界. b x y a y = f (x) O
定理3（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A, f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C y=f(x) 证：作辅助函数 (x)=f(x)-C 则o(x)∈C[a,b],且 p(ap(b)=(A-C)(B-C)<0 使 故由零点定理知，至少有一点5∈(a,b), p(5)=0, 即 f(5)=C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理3( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) = A, f (b) = B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) = f (x) −C 则 (x)C[a, b] , 且 (a)(b) = (A−C)(B −C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 C 使 至少有 x A b y a y = f (x) B O