第五章 留数理论及其应用
§5.1留数 1.留数的定义 如果是孔)的孤立奇点，那么对于解析圆环内包 含z的正向简单闭曲线C,上述积分只与孔z)和z有关， 而与C无关，但积分值不一定为零 z)在z的邻域内可展开成洛朗级数： f(z)=∑an(z-2)” n=-o0 钟a2长 n=0,±1，±2，… a2ai手s
§5.1 留 数 1. 留数的定义 如果z0是f(z)的孤立奇点，那么对于解析圆环内包 含z0的正向简单闭曲线C，上述积分只与f(z)和z0有关， 而与C无关，但积分值不一定为零. f(z)在z0的邻域内可展开成洛朗级数： 0 ( ) ( )n n n f z a z z =− = − 其中 1 0 1 ( )d , 0, 1, 2, 2πi ( ) n n C f a n z + = = − 1 1 ( )d 2πi C a f − =
∮f5)d5=2πia1 把孔z)在z处的洛朗级数中(2-zo)项的系数a-1称为z) 在孤立奇点z处的留数，记为 Res[2),o]=a-1, 即 Re-)2a季et
1 ( )d 2πi C f a = − 把f(z)在z0处的洛朗级数中(z−z0 ) −1项的系数a−1称为f(z) 在孤立奇点z0处的留数，记为 Res [f(z),z0 ]=a−1 , 即 Res[f(z),z0 ]= . 1 ( )d 2πi C f z z
例5.1求下列积分的值，其中C为包含=0的简单正向闭 曲线， (eos-dzd 解：(1)令z=z3cosz,则=0为z)的孤立奇点. cosz =1- 22 21 1 1 f(2)= 2z 4！ 61 +,0<2<o, 所以Resa),o]=- ∮z3 coszd=-πi
例5.1 求下列积分的值，其中C为包含z=0的简单正向闭 曲线. 3 (1) cos d C z z z − 1 2 (2) e dz C z 解： (1)令f(z)=z −3cosz，则z=0为f(z)的孤立奇点. 2 4 6 cos 1 , . 2! 4! 6! z z z z z = − + − + 3 3 1 1 ( ) ,0 , 2 4! 6! z z f z z z z = − + − + 所以Res [f(z),0]= . 1 2 − 3 cos d i C z z z − = −
(2)令e)e,则-0为e)的孤立奇点 。1分5n 1! 必=代入上式，得 fe=h++京0e 所以，Res[z),0]=0. Se"d--0
(2) 令f(z)= ，则z=0为f(z)的孤立奇点. 2 1 e z 2 e 1 , , 1! 2! ! n z n = + + + + 以 2 代入上式，得 1 z = 2 4 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ,0 . 1! 2! ! n f z z z z n z = + + + + 所以，Res[f(z),0]=0. 1 2 e d 0 z C z =