第一章 第4节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷小与函数极限的关系 三、无穷大 四、无穷大与无穷小的关系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 无穷小与函数极限的关系 三、 无穷大 一、 无穷小 第4节 无穷小与无穷大 四、 无穷大与无穷小的关系
一、无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x>0) 为x→x时的无穷小 (或x→∞) 例如： lim sinx=0,函数simx当x→0时为无穷小： x→0 1im上=0，函数1当x→o时为无穷小 x→00X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; (或x → ) 为 时的无穷小 . (或x → )
定义1.若x>x(或x→0)时，函数f(x)>0,则 则称函数f(x)为x→x,(或x→0)时的无穷小 说明：(1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ (2)除0以外任何很小的常数都不是无穷小· 因为 _lim V8>0,38>0 x今X0 当0<x-<8时 |C-0kε 显然C只能是0！ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1)无穷小是相对自变量的某一变化过程而言！ 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . (2)除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
二、无穷小与函数极限的关系 1imf(x)=A,=f(x)=A+a(x),其中a为x>xo x今X0 时的无穷小量 证：lmf(x)=A x今x0 Vε>0,38>0，当0<x-x0<δ时有 |f(x)-A<8 C= f(x)-4 lim a(x)=0 X→X0 对自变量的其他变化过程类似可证 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 二、无穷小与函数极限的关系 f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+(x) , 证: f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 当 0 x − x0 时,有 f (x) − A = f (x) − A lim ( ) 0 0 = → x x x 对自变量的其他变化过程类似可证
三、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在8>0(X>0),使对 一切满足不等式0<x-xo<8(x>X)的x,恒有 f(x)>M 则称函数f(x)当x→x(x→∞)时为无穷大，记为 lim f(x)=o (limf(x)=). x→x0 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M) 则记作 lim f(x)=+co lim f(x)=-00) x→x0 X→X0 X→00 X>0） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 恒有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x X ) ( x → ) (lim ( ) ). x f x → = ( X >0 ) , 记为 ( f (x) −M ), 总存在