第四章 解折品数的级数表示法
§4.1复数项级数 1.复数列和复数列的极限 定义4.1设{an}(n=1,2,…)为一复数列，其中an=an+iPn a=+iB为一确定的复数.如果对任意的正数ε，存 在正整数N,使得当>W时，有 a,-a<& 成立，则称a为复数列{an}当n→o时的极限，记作 lima,=a n-→o0 并称复数列{an收敛于a
§4.1 复数项级数 1. 复数列和复数列的极限 定义4.1 设 为一复数列，其中 为一确定的复数. 如果对任意的正数，存 在正整数N，使得当n>N时，有 成立，则称a为复数列{an }当n→时的极限，记作 并称复数列{an }收敛于a. { }( 1,2, ) n a n = . n n n a i = + a i = + n a a − lim n n a a → =
定理4.1复数列{an}收敛于a的充分必要条件是： lim a,a,lim B.=B n∞ 证明 如果1ima,=a,则对>0，存在正整数W,使 得当n>N时，有an-a<& 从而有&n-≤a,-a<ε 所以有 lima,=a. 同理有 lim B.=B. n→o 反之，如果1im心n=&,lim B.=阝，对≥0，存在正整数 7→00 N,使得当n>W时，有 a,-a<R.-<5, a,-aa,-a+B,-B<8,lima,a. n→o0
定理 4.1 复数列{an }收敛于a的充分必要条件是： lim ,lim n n n n → → = = 证明 如果 ，则对>0，存在正整数N，使 得当n>N时，有 lim n n a a → = n a a − 从而有 n n − − a a 所以有 lim . n n → = 同理有 lim . n n → = 反之，如果 ,对>0 ，存在正整数 N，使得当n>N时，有 lim ,lim n n n n → → = = , , 2 2 n n − − , n n n a a − − + − lim . n n a a → =
2.复级数 设an=n+iBn(n=1,2,3,)为一复数列，表达式 ∑an=a+a+…an+… n=] 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该 级数的前n项部分和为 Sn=a1+a2+…+an,n=1,2,…, {sn}称为该级数的部分和数列 定义4.2若级数∑a,对应的部分和数列{sm}收敛于常数 s,即 lims,=s.那么∑a,称为收敛的级数数s叫做该 级数的和，记为∑4，=s若1ims,不存在，则∑an称为 n=l n=l 发散的级数
2. 复级数 设 为一复数列，表达式 称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该 级数的前n项部分和为 {sn}称为该级数的部分和数列. i ( 1,2,3, ) n n n a n = + = 1 2 1 n n n a a a a = = + + + 1 2 , 1,2, , n n s a a a n = + + + = 1 n n a = 定义 4.2 若级数 对应的部分和数列{sn}收敛于常数 s，即 那么 称为收敛的级数.数s叫做该 级数的和，记为 若 不存在，则 称为 发散的级数. lim . n n s s → = 1 n n a = 1 . n n a s = = lim n n s → 1 n n a =
定理4.2复级数∑a,收敛于s的充要条件是实级数∑ n=l 和∑Bn分别收敛学和x,其中s=6+i,a,=a,+B,(0n=1,2 n=l 证明：Sn=41+a2+…an =(C必1+2+…+an)+i(B+B2+…+Bn) =δn+itn 其中d,=∑g,n=∑B,它们分别为实级数∑a,和∑B 的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{6} 和{}分别收敛于和x从而定理得证
定理 4.2 复级数 收敛于s的充要条件是实级数 和 分别收敛于和，其中 1 n n a = 1 n n = 1 n n = i , ( 1,2, ). n n n s a n = + = + = 证明： 1 2 1 2 1 2 ( ) i( ) i . n n n n n n s a a a = + + = + + + + + + + = + 1 1 , , n n n i n i i i = = = = 1 n i i = 1 n i i = 其中 它们分别为实级数 和 的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{n} 和{n}分别收敛于和.从而定理得证