第六章 共形映射
§6.1分式线性变换 1.分式线性变换的结构 形如 az b W= (ad-bc≠0) cz d 的映射称为分式线性变换，其中α，b,c,d为复常数. 逆变换 5= -dw+b ,[(-a)(-d)-cb≠0]， cw-a 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 as +B W= %+ ai-8=0u-g1ga5-y=0n
§6.1 分式线性变换 1.分式线性变换的结构 形如 的映射称为分式线性变换，其中a,b,c,d为复常数. , ( 0) az b w ad bc cz d + = − + 逆变换 d , [( )( ) 0], w b z a d cb cw a − + = − − − − 两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换 ( 0), ( 0). z w z + + = − = − + +
az +b W= cz +d 其中ad-bc=(aδ-B)('6'-B'y）≠0. az b a bc-ad W= cz+dcdcztd)(c*0) 令A=0,B= bc-ad B w=4+ C C cz+d 它由下列三个变换复合而成 z'=cz+d: ”1 w=A+Bz
az b w cz d + = + 其中 ad bc − = − − ( )( ) 0. 它由下列三个变换复合而成 .( 0) ( ) az b a bc ad w c cz d c c cz d + − = = + + + , a bc ad A B c c − 令 = = . B w A cz d = + + ; 1 ; . z cz d z z w A Bz = + = = +
2.分式线性变换的性质 (1)一一对应性 在扩充复平面上，函数w= az +b 的导数除点--￠和 cz +d dw =∞以外处处存在，而且 ad -bc ≠0我们把z的 dz (cz+d)2 像看成是w=o,把=oo的像看成是 w=,得到分式线性 变换在扩充复平面上是 一对应的 (2)保圆性 定理6.1分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成 扩充w平面上的圆，即具有保圆性
2.分式线性变换的性质 (1)一一对应性 (2)保圆性 定理6.1 分式线性变换将扩充z平面上的圆映射成 扩充w平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上,函数 的导数除点 和 z=∞以外处处存在，而且 .我们把 的 像看成是w=∞,把z=∞的像看成是 ,得到分式线性 变换在扩充复平面上是一一对应的. az b w cz d + = + d z c = − 2 d 0 d ( ) w ad bc z cz d − = + d z c = − a w c =
在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周 变换w=az+b是由=az（旋转与伸长)和w=+b (平移)复合而成的.而这些映射将原象平面内的圆 或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在 扩充复平面上具有保圆性 z平面上的圆的一般方程为 A(x2+)+Bx+Cy+D=0 z+2 2-2 X= 2 2i 4z+az+a+D=0,&=(B-C 经过映射w=二后 A+w+w+Dw=O】 在扩充复w平面上它仍是圆的方程
在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周. 变换w=az+b是由ζ=az（旋转与伸长）和w=ζ+b （平移）复合而成的.而这些映射将原象平面内的圆 或直线映射到象平面内的圆或直线，从而w=az+b在 扩充复平面上具有保圆性. z平面上的圆的一般方程为 2 2 A x y Bx Cy D ( ) 0 + + + + = , 2 2i z z z z x y + − = = Azz z z D + + + = 0, 1 ( i) 2 = − B C 经过映射 后 1 w z = A w w Dww + + + = 0. 在扩充复w平面上它仍是圆的方程