第3节 第十一章 高阶微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分方程的解法 第3节 一、可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 第十一章 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例
一、可降阶的高阶微分方程 1.ym=f(x)型的微分方程 令=ym-),则=ym=fx),因此 dx z=∫fx)dx+C 即 yw-D=∫fx)dx+C 同理可得y”-2=[f(x)dr+C]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Gx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、可降阶的高阶微分方程 ( ) 1. ( ) n y f x 型的微分方程 令 , ( 1) n z y 因此 d 1 z f (x) x C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n dx 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 C x
例11.3.1求微分方程y”=e+cosx的通解 解：y”=-e+sinx+C, y'=e*-cosx+Cx+C2, y=-e *-sinx+ +Cxx+C3 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.1 求微分方程 解: 1 e sin , x y x C 1 2 e cos , x y x C x C 1 2 2 3 e sin . 2 x C y x x C x C
2y”=f(x,y)型的微分方程 设y=p,则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为p=0(x,C1〉 则得 y'=p(x,C) 再一次积分，得原方程的通解 y=Jp(x,C)dx+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. ( , ) y f x y 型的微分方程 设 y p , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p x 则得 ( , ) C1 y x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y (x,C ) x C
例11.3.3设有一均匀，柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况： A点受水平张力万 M点受切向张力7 弧段重力大小4gS(:密度，s:弧长) 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=4gs 两式相除得 tan O =%g 放有y=J1+axy=1+y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.3 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图.考察最低点 A 到 弧段重力大小 (μ: 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs a H g y y x x 1 d 0 2 a 1 故有 2 1 1 y a y 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A y O x