第一章 第8节 岛数的连续性 二 函数的连续性 函数的间断点 三、 连续函数的和、差、积、商 的连续性 四、 反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数的连续性 第8节 函数的连续性 第一章 四、 反函数与复合函数的连续性 三、 连续函数的和、差、积、商 的连续性 五、 初等函数的连续性
一、 函数的连续性 定义1设函数y=f(x)在xo的某邻域内有定义，且 1im△y=0,则称函数f(x)在点x,处连续 Ax->0 可见，函数(x)在点x0连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点xo有定义，即f(xo)存在， (2) 极限limf(x)存在， x→X0 (3) lim f(x)=f(xo). x→X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数 在点 0 x 一、函数的连续性 定义1 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在点x0 处连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;
定义2设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义，且 mf(x)=f(x,),则称函数f(x)在点x处连续 x→x0 定义3设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义 如果v>0,0>0,当 K-x时有 f(x)-f(x<成立，则称函数x在点x处连续 定义4若1imf(x)=f(x),则称函数f孔x)在点x处左 连续；若1mf(x)=f(x),则称函数c)在点x处右 连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义2 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在点x0 处连续 设函数 且 定义3 在 的某邻域内有定义 , 如果∀ε>0，∃δ>0，当 时，有 成立，则称函数f(x)在点x0处连续． 设函数 定义4 若 则称函数f(x)在点x0处左 连续；若 则称函数f(x)在点x0处右 连续
若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上 连续，或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+41x+…+amx” (有理整函数) 在(-0，+0)上连续 又如，有理分式函数R(x)= P(x) e(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0，都有limR(x)=R(xo) x-→x0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
对自变量的增量△x=x-xo, 有函数的增量 △y=f(x)-f(xo)=(xo+△x)-f(xo） 函数f(x)在点x,连续有下列等价命题 lim f(x)=f(xo) limf(xo+△x)=f(xo） x今X0 △x->0 1im△y=0 yy=f(x △x>0 二f(x)=f(x)=f(x) 左连续 右连续 xx =V8>0,38>0,当x-x=△x<8时，有 f(x)-f(x=△y<8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) O x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: