第三章 复变函教的农分
§3.1复变函数积分的概念 1复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B.C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A. 若规定其中一个方向（例如从点A到点B的方向）为正方 向，则称C为有向曲线此时称点A为曲线C的起点 点B为曲线C的终点若正方向指从起点到终点的方向 那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向， 记作C
§3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A 和B. C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A. 若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方 向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点， 点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向， 那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向， 记作C−
定义3.1设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中 A为起点，B为终点.函数z)在曲线C上有定义现沿着C 按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=2021,…2n-12m=B, 将曲线C划分成n个小弧段.在每个小弧段k-k (-1,2,…,n)上任取一点Ck并作和式Sn=∑f(5)△、 k=1 其中正k=2k-k-1.记为n个小弧段长度中的 之n =B 最大值当趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点的取法如何，S极限存在 之n-1 则称函数z)沿曲线C可积，并称这个极限 值为函数z)沿曲线C的积分.记作 52 22 17 1 ∫fet=l∑f5)Ac 51 o=A 2→0 k=1 z)称为被积函数，z)d称为被积表达式
定义3.1 设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中 A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C 按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0 ,z1 ,…,zn-1 ,zn =B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,…,n)上任取一点k ,并作和式 k k 1 z z − 1 ( ) . n n k k k S f z = = 其中 .记为n个小弧段长度中的 最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C 的分法及点ζk的取法如何，Sn极限存在， 则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限 值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 k k k 1 z z z = − − 0 1 ( )d lim ( ) , n k k C k f z z f z → = = f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式
若C为闭曲线，C的正方向指的是 当点沿着曲线C按所选定取积分的方 向运动时，C所围区域始终在它的左 侧，这时函数z)沿曲线C的积分记 作∮f(e)dz
若C为闭曲线，C的正方向指的是， 当点沿着曲线C按所选定取积分的方 向运动时，C所围区域始终在它的左 侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记 作 ( )d C f z z
2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性)若函数z)沿曲线C可积，则 ∫2d=-∫f2d. 性质3.2（线性性)若函数z和g(z)沿曲线C可积，则 [(f()+B(i-f(+(d=. 其中α，B为任意常数 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数fz)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段，依次首尾相接而成，则 [fed=「fed+∫fed++f(e)d
2.复变函数积分的性质 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则 ( )d ( )d . C C f z z f z z − = − 性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d , C C C f z g z z f z z g z z + = + 其中,为任意常数. 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C 可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + +