定理1(Abel定理)若幂级数 ∑anx”在x=0点收敛， n=0 则对满足不等式x<xo的一切x幂级数都绝对收敛 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散 收敛发散 散 收O敛 发散x
收敛 发散 若幂级数 ∑ ∞ n=0 n n a x , 在x = x0 点收敛 则对满足不等式 0 x < x 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 0 x = x 0 x > x 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 发 散 收 O 敛 发 散 x 定理1(Abel定理)
证设∑anx收敛，则必有1 im anx心=0，于是存在 n=0 1n-→o0 常数M>0,使 anx≤M(n=l,2,…) 看6's后 当x<时，∑M”收敛所以∑ax n=0 n=0 也收敛，故原幂级数绝对收敛 等比级数
证 设∑ ∞ =0 0 n n n a x lim 0, 0 = →∞ n n n 收敛, 则必有 a x ( 1, 2, ) an x0n ≤ M n = " 于是存在 常数 M > 0, 使 当 x < x0 时, ∑ ∞ n=0 0 n x x M 收敛, 所以 也收敛, 故原幂级数绝对收敛 . n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = ⋅ n x x M 0 ≤ ∑ ∞ n=0 n an x 等比级数
反之，若当x=x0时该幂级数发散，用反证法证明 假设有一点x,满足x>x且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点X。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真. 所以若当x=x0时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散
反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 , 用反证法证明. 假设有一点 1 x 1 0 x > x 0 x 满足不等式 0 x > x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾
定理1(Abel定理)若幂级数 a,x在=点收敛 n=0 则对满足不等式x<x的一切x幂级数都绝对收敛 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散. 由Abel定理可以看出，∑anx”的收敛域是以原点为 n=0 中心的区间
定理1 (Abel定理) 若幂级数 ∑ ∞ n=0 n n a x , 在x = x0 点收敛 则对满足不等式 0 x < x 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 0 x = x 0 x > x 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 由Abel 定理可以看出, ∑ ∞ n=0 n n a x 中心的区间. 的收敛域是以原点为