1.6有理系数多项式证明设整系数多项式f（x）有分解式f(x) = g(x)h(x)其中 g(x),h(x) eQ[xl, 且a(g(x)),a(h(x))<a(f(x)令 f(x)=afi(x), g(x)=rgi(x), h(x)= shi(x)这里，f,(x),g,(x),h(x)皆为本原多项式，aE Z,r,seQ. 于是 afi(x)=rsgi(x)h(x)g (x)h(x)本原，从而有a=土rs,即 rs E Z. . f(x) =(rsgi(x))h,(x). 得证
设整系数多项式 f x( ) 有分解式 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = 其中 g x h x Q x ( ), ( ) [ ], 且 ( g x h x f x ( ) , ( ) ( ) . ) ( ) ( ) 证明 令 1 1 1 f x a f x g x r g x h x sh x ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) = = = 这里， f x g x h x 1 1 1 ( ), ( ), ( ) 皆为本原多项式， a Z , r s Q , . 于是 1 1 1 a f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). = g x h x 1 1 ( ) ( ) 本原， 即 rs Z . = f x rsg x h x ( ) ( ) ( ). ( 1 1 ) 从而有 a rs = , 得证． 1.6 有理系数多项式
1.6有理系数多项式推论设f(x),g(x）是整系数多项式，且g(x）是本原的, 若 f(x)= g(x)h(x), h(x)EQ[x], 则 h(x)必为整系数多项式
推论 设 f x g x ( ), ( ) 是整系数多项式，且 g x( ) 是本原 的，若 f x g x h x h x Q x ( ) ( ) ( ), ( ) [ ], = 则 h x( ) 必为整系数多项式． 1.6 有理系数多项式