沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿一）第四章 矩阵 4.2 矩阵的逆

第四章矩阵F=r+r=nfrn)Mg4.2矩阵的逆-n*(nxn)=r-n(n)主讲人：黄影

4.2 矩阵的逆 第四章 矩阵 主讲人：黄影

4.2矩阵的逆一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB=BA-E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵注①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作A-1②i可逆矩阵A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵，且(A") = A.③单位矩阵E可逆，且（E)=E

一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注： ( ) 1 1 A A. − − = ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 1 A . − ③ 单位矩阵 E 可逆，且 ( ) 1 E E . − = ② 可逆矩阵A的逆矩阵 A −1 也是可逆矩阵，且 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆二、先矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义 设A,是矩阵A=(a;）nn中元素 ij的代数余子式，矩阵Au A21A22Al21nA"=...Ain Azn..21称为A的伴随矩阵性质AA =AA=AE

二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 定义 称为A的伴随矩阵. 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A     =       性质 * * AA A A A E = = 余子式，矩阵 设 Aij 是矩阵 A a = ( )ij n n 中元素 aij 的代数 4.2 矩阵的逆

矩阵的逆4.2由行列式按一行（列）展开公式证明d,k=id =[Al.AkAit + ak2Ai2 +..+ akAin =:(0,ki(d,l=jA..+...+011(0,3[]A.... A..Auan a12... ain..An2... a2nA122A22a21a22AA"............(Ain Azn .. Amn)(anl(nn)2an2a0...00d 0= dE. 同理, A"A= dE.=0d0

证明 由行列式按一行（列）展开公式 11 12 1 11 21 1 * 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A       =          d A = . 1 1 2 2  , 0, k i k i kn in d k i a A a A a A k i = + + + =  1 1 2 2  , 0, l j l j nl nj d l j a A a A a A l j = + + + =  0 0 0 0 . 0 0 d d dE d     = =       同理, * A A dE = . 4.2 矩阵的逆

4.2矩阵的逆定理矩阵A可逆当且仅当A±0（即A非退化的），且A-1A

* 1 . A A A − 定理 矩阵A可逆当且仅当 A  0, （即A 非退化的），且 = 4.2 矩阵的逆