「例有一个100°C的物体放在20C的房间内 经过20分钟后测量物体的温度知其已降为 60C问还需经过多长时间物体的温度才能 降为0C? 解取时间自变量,物体的温度T()为未知函数 由牛顿冷却定律知 dT d=-k(T-20)(k>0,比例常数) 初始条件T(0)=100 2021/2/20
2021/2/20 11 30 ? 60 . , 20 , , [ 1] 100 , 20 , C C C C 降 为 问还需经过多长时间物体的温度才能 经 过 分钟后 测量物体的温度知其已降为 例 有一个 的物体 放 在 的房间内 [解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数. 由牛顿冷却定律知 = −k(T − 20) (k 0,比例常数) dt dT 初始条件 T(0) = 100
另外还有一个条件:T(20)=60 可用来确定比例常数k dT 分离变量,得 kat (-20 兩边积分,得 in(T-20)=-kt+C1 T-20=Cc-4 T=20+ ce-kr T(0)=100代入上式,得C=80 T=20+80e-k 7(20)=60代入,得k=12 2021/2/20 12
2021/2/20 12 另外还有一个条件: T(20) = 60 可用来确定比例常数k 分离变量，得 kdt T dT = − ( − 20) 两边积分，得 1 ln(T − 20) = −kt +C kt T Ce− − 20 = kt T Ce− = 20 + T(0) = 100 代入上式，得 C = 80 kt T e − = 20 + 80 T(20) = 60 代入，得 ln 2 20 1 k =