§7极值 问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价2元,外地牌子每瓶进价2.4元,店主估计, 如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y 元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 80+6x-7y瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什 么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 每天的收益为 f(x,y)=(x-2)(70-5x+4y)+(y-24)80+6x-7y) 2012/2/22
2012/2/22 1 §7 极值 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价2 元，外地牌子每瓶进价 2.4 元，店主估计， 如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 - 5x + 4y 瓶本地牌子的果汁, 80 + 6x - 7y 瓶外地牌子的果汁,问：店主每天以什 么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 f (x, y) (x 2)(70 5x 4y) ( y 2.4)(80 6x 7y)
二、多元函数的无条件极值 二元函数极值的定义 设函数∫(x,y)在点(x,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x,y)(Orf(x,y)≥f(x0,V 称(x,y)为函数∫的一个极大值点(或极小值点) 称f(x,yo)为相应的极大值(或极小值) 2012/2/22
2012/2/22 2 二、多元函数的无条件极值 二元函数极值的定义: 设函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内有 极大值点 (或极小值点). 极大值 (或极小值). 称 (x0 , y0 ) 为函数 f 的一个 称 f (x0 , y0 ) 为相应的
例如: x=3x2+4 在点(0,0)有极小值; vr+ 在点(0,0)有极大值; 在点(0,0)无极值。 2012/2/22 3
2012/2/22 3 例如: 在点(0, 0)有极小值； 在点(0, 0)有极大值； 在点 (0, 0) 无极值
定理1(极值的必要条件) 设函数f(x,y)在点(xo,y取得极值,且∫在 在点(xy)处的一阶偏导数存在, 则必有f(x0,yn)=0,∫(x0,%)=0, 这样的点(x,y)称为驻点。 说明:1)使偏导数都为0的点称为驻点; 2)偏导数存在的前提下,极值点必是驻点, 但驻点不一定是极值点; 如:乙=x在点(0,0)是驻点,但不是极值点。 2012/2/22
2012/2/22 4 定理1 (极值的必要条件) 则必有 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) 0 , x y f x y f x y 驻点。 说明: 1) 使偏导数都为 0 的点称为驻点； 2) 偏导数存在的前提下，极值点必是驻点， 但驻点不一定是极值点； 设函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 取得极值，且 f 在 在点 (x0 , y0 ) 处的一阶偏导数存在， 这样的点 (x0 , y0 ) 称为 如： z = xy 在点 (0, 0) 是驻点，但不是极值点
3)偏导数不存在的点也可能是极值点。 如:z=∫(x,y)=1x 在Oxy”平面整个y轴上的每一点(0,y)都是∫的 极小值点,但在这些点上∫关于x的偏导数均 不存在。 2012/2/22
2012/2/22 5 3) 偏导数不存在的点也可能是极值点。 如： z f (x, y) x 在Oxy 平面整个 y 轴上的每一点 (0, y) 都是 f 的 极小值点，但在这些点上 f 关于 x 的偏导数均 不存在