§2一阶常微分方程 一阶常微分方程的一般形式: dh f(,y) 其定解存在且唯一(有下面定理)
§2 一阶常微分方程 一阶常微分方程的一般形式： 0 0 ( , ) ( ) dy f x y dx y x y 其定解存在且唯一（有下面定理）
定理(解的存在与唯一性定理 df 如果∫(x,y)和(x,y)在矩形区域 {(x,y)|x-xl<a,y-yk<b}上连续, 那么存在一个0<h≤a,其定解在|x-x<h上 有唯一解y=(x),使得 q(x)=f(x,g(x),卯(x)=y·
定理（解的存在与唯一性定理）： 如果 f (x, y) 和 ( , ) 在矩形区域 f x y y ( , ) | , x y x x a y y b 0 0 上连续， 那么存在一个 0 < h ≤ a , 其定解在 x x h 0 上 有唯一解 y = φ (x) , 使得 ( ) ( , ( )) , x f x x 0 0 ( ) . x y
常见类型的一阶常微分方程的解法 变量可分离方程 一般形式"=g(x)h() 即∫(x,y)=g(x)h(y)x,p完全分离。 解法: 1)分离变量 小y 08(x)dx,l(y)≠0, 2)两边积分 dy=g(x) h(y) 此方程的通解(GS) H(y)=G(x)+C.C:任意常数 奇解l(y)=0
一、变量可分离方程 ( ) ( ) dy g x h y dx 一般形式 即 f x y g x h y ( , ) ( ) ( ) x, y 完全分离。 解法： 1) 分离变量 ( ) , ( ) dy g x dx h y 2) 两边积分 1 ( ) ( ) dy g x dx h y H y G x C ( ) ( ) . 此方程的通解(GS): C : 任意常数 h y( ) 0 , 奇解 h y( ) 0 . 常见类型的一阶常微分方程的解法
例1、求解常微分方程的定解问题: sInr yIn y dx e 例2、求微分方程的 x+a(y2+)通解 d x dx 例3、求微分方程∫()+g(x)x=0的通解
例1 、求解常微分方程的定解问题: sin ln 2 dy x y y dx y e 例2 、求微分方程的 通解。 2 ( ) dy dy dy x a y dx dx dx 例3、 求微分方程 f xy ydx g xy xdy ( ) ( ) 0 的通解
有限资源下单一群体自然增长模型( Logistic模型 群体增长的条件是复杂的,如细菌、物种、人口 增长等。如人口增长: 如果在有限生存资源下,能够维持人口生存的最大 总量(即饱和量)为Nn,则相对净增长率为1 N 则人口相对增长速率正比于N1 这时,描述人口增长的方程为 dN kN 1 dt N(t=No
总量（即饱和量）为 Nm ，则相对净增长率为 1 , m N N 如果在有限生存资源下，能够维持人口生存的最大 则人口相对增长速率正比于 1 ， m N N N 这时，描述人口增长的方程为 0 0 1 ( ) m dN N kN dt N N t N 有限资源下单一群体自然增长模型 （Logistic 模型 ） 群体增长的条件是复杂的，如细菌、物种、人口 增长等。如人口增长：