§6大数定律和中心极限定理 、问题的提出 事件发生的频率为什么能作为事件概率的估计? 样本均值为什么可以作为总体期望的估计? 在概率统计中,正态分布为什么极其重要? 统计推断的理论基础是什么?
1 §6 大数定律和中心极限定理 一、问题的提出 事件发生的频率为什么能作为事件概率的估计？ 样本均值为什么可以作为总体期望的估计？ 在概率统计中，正态分布为什么极其重要？ 统计推断的理论基础是什么？
定义:设{5n}(即5,52,…,5;…)为随机变量序列, 若对于Vg>0,成立limP(<)=1 n→0 则称随机变量序列{5}依概率收敛于0, 记为5n→>0 设ξ是随机变量,若n-5>0, 则称{5n}依概率收敛于ξ,记为5n→>5 定理(依概率收敛性质):设5n→>A,mn→>B, 且二元函数∫在点(4,B)处连续, 则∫(5n,mn)→>f(A,B)
2 设 { } n （即 1 2 , , , , n ）为随机变量序列， 若对于 0 , 成立 定义： lim ( ) 1 n n P 则称随机变量序列 { } n 依概率收敛于 0， 记为 0 . n 设 ξ 是随机变量，若 0 , P n 则称 { } n 依概率收敛于 ξ ，记为 . P n 定理（依概率收敛性质）：设 , P n A , P n B 且二元函数 f 在点 (A , B)处连续， 则 ( , ) ( , ) . P n n f f A B
大数定律 1、切比雪夫( Chebyshev)不等式 若随机变量ξ具有数学期望Eξ和方差D, 若对于VE>0,成立 P(-E分F)D和P(5-El<21-25 切比雪夫不等式的意义: 反映的是随机变量X的取值落在其数学期望的 E邻域内的概率不小于1-σ2/2.它的意义在于 当随机变量的数学期望和方差已知时,可以估 计随机变量X落在以数学期望为中心的某一区〓 间内的概率的一个下限
3 二、大数定律 1、切比雪夫（Chebyshev）不等式： 若随机变量ξ 具有数学期望 Eξ 和方差 Dξ ， 若对于 0 , 成立 2 ( ) D P E 和 2 ( ) 1 . D P E 切比雪夫不等式的意义： 反映的是随机变量 X 的取值落在其数学期望的 ε 邻域内的概率不小于 1-σ 2 / ε 2 . 它的意义在于 当随机变量的数学期望和方差已知时，可以估 计随机变量 X落在以数学期望为中心的某一区 间内的概率的一个下限
证明:仅对离散型随机变量证明, 设ξ是一个离散型随机变量,其分布律为 P(5=xk)=P(k=1,2,…) 则P(5-E8)=∑P(5=x)=∑ ≥E xk-E5≥E ∑ (x-E)2 xk-E2≥E ∑ (x-E5) 2 ≥1 2∑(x-E)p=D5 8 k21 且P(-E5)=1-P(-E引26)21235
4 2 2 1 ( ) k k k x E p 证明：仅对离散型随机变量证明， 设 ξ 是一个离散型随机变量， 其分布律为 ( ) ( 1, 2, ) P x p k k k 则 ( ) ( ) k k x E P E P x k k x E p 2 2 ( ) k k k x E x E p 2 2 1 1 ( ) k k k x E p 2 1 D 且 2 ( ) 1 ( ) 1 . D P E P E
例1、在每次试验中,事件A发生的概率为0.75,利用 切比雪夫不等式,求n需要多大时才能使得在n次 重复独立试验中事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90
5 例1、在每次试验中，事件 A 发生的概率为0.75，利用 切比雪夫不等式，求 n 需要多大时才能使得在 n 次 重复独立试验中事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76之 间的概率至少为0.90