§2二重积分的计算 重积分计算的基本思想: 化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值 二重积分计算: 化为二次定积分进行计算,具体如下:
1 §2 二重积分的计算 重积分计算的基本思想: 化为二次定积分进行计算,具体如下： 化为累次积分,通过逐次计算定积分,求得其值。 二重积分计算:
直角坐标系下二重积分的计算 1、如果积分区域D:x一型区域 {(x,)a≤x≤b(x)sysq(x) y=(2(r) y=(p2(x) D D y=p,(x) y=p(r) g(x),q2(x)为区间[a,b上的连续函数
2 一、直角坐标系下二重积分的计算 1、如果积分区域 D：x — 型区域 ( , ) , ( ) ( ) x y a x b x y x 1 2 ( ) 2 y x a b D ( ) 1 y x D a b ( ) 2 y x ( ) 1 y x φ1 (x), φ2 (x) 为区间 [a, b] 上的连续函数
f(x,y)la的值等于以D为底,曲面z=∫(x,y) D 为高的曲顶柱体的体积, 用平行于Oyz的平面截曲顶柱体,应用“已知平行 截面面积,求空间区域体积”的方法求。 z=f(r,y) 截面A(x):是一个曲边梯形z q2(x) a(r) f∫(x,y)小 q1(x) V=lf(x, y)do a()d y=o(ry y=91(x) b「Pg2(x) b f(x, y)dy dx=dx q2(x) f(, y)dy q1(x) q1( 3
3 ( , ) D f x y d 的值等于以 D 为底，曲面 z = f (x, y) 为高的曲顶柱体的体积， 用平行于Oyz 的平面截曲顶柱体，应用“已知平行 截面面积，求空间区域体积”的方法求。 z y x A x( ) z f x y ( , ) 1 y x ( ) 2 y x ( ) a x b 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy ( , ) D V f x y d ( ) b a A x dx 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x f x y dy dx 2 1 ( ) ( ) ( , ) b x a x dx f x y dy 截面 A (x) : 是一个曲边梯形
2、如果积分区域D:y-型区域 {(x,y) cssd()sx≤(y x=,(vyd f=d(y D x=p2) p(x),φ2(x)为区间le,上的连续函数, n2(y) f(x, y)do= dy,f(x, y)dx 内(y) 说明直角坐标系下:dq=小 面积元素
4 ( , ) , ( ) ( ) x y c y d y x y 1 2 ( ) 2 x y ( ) 1 x y D c d c d ( ) 2 x y ( ) 1 x y D ( , ) D f x y d 2 1 ( ) ( ) ( , ) d y c y dy f x y dx 说明 d dxdy 2、如果积分区域 D：y — 型区域 ϕ1 (x), ϕ2 (x) 为区间 [c, d] 上的连续函数， 直角坐标系下： 面积元素
例1、计算』,D由p=x,灯=1,y=2国成。 解:10x—型区域(先对y积分后对x积分) 2x do=dx i a dy+l dx dy 2 d x J 2 2 2x =(-+x3)dx+l,(-+x)x (2,2 2 2 27 64
5 D y x y 2 xy 1 (1,1) , 2) 2 1 ( (2,2) D1 D2 2 2 D x d y 2 1 2 1 1 2 2 x x dx dy y 2 2 2 2 1 x x dx dy y 2 2 1 1 2 1 x x dx y 2 2 2 1 x x dx y 2 1 3 1 2 ( ) 2 x x dx 2 2 1 ( ) 2 x x dx 27 64 2 2 D x d y 例 1、计算 ，D 由 y = x , xy = 1 , y = 2 围成。 解：1 0 x — 型区域 （先对 y 积分后对 x 积分）