§5随机变量的数字特征 、问题的提出 例如:考察射击手的水平,既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小,即数据的浪动是否小。 又如:有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品, 10%为三等品。 三等产品的单价分别为10元、 8元和6元。有人要采购一批这种产品,但来不及检验, 该如何定价? 随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统讣特 征。但是在实际中,一方面得到随机变量分布函数(分布律 或分布密度)相当困难;另一方面,许多实际问题只需要知 道随机变量的某些特征即可。此时,我们关心的是描写随桃 变量的某些特征的数字,即数字特征。 2012/10/31
2012/10/31 1 §5 随机变量的数字特征 一、问题的提出 例如：考察射击手的水平，既要看他的平均环数是否高， 还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。 又如：有一大批产品，其中15% 为一等品，75% 为二等品， 10% 为三等品。一、二、三等产品的单价分别为10 元、 8 元和6 元。有人要采购一批这种产品，但来不及检验， 该如何定价？ 随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 征。但是在实际中，一方面得到随机变量分布函数（分布律 或分布密度）相当困难；另一方面，许多实际问题只需要知 道随机变量的某些特征即可。此时，我们关心的是描写随机 变量的某些特征的数字，即数字特征
就上两例来说,我们需要引入能反映随机变量重要特征的 统计指标,随机变量的数学期望(均值)、方差(均值的偏离 程度)。 数学期望 设随机变量ξ所有可能取的值为x1,x2,x3,但预期5 取值的平均数一般不等于互,因为占取每个值的 3 概率一般不同,概率大的值取到的机会多,概率小的值取到 的机会少,所以不前对随机变量所能取的每个值同等对待 必须考虑其相应的概率。 例:假定对作n次独立观察,5取值x1,x2,x3的次数 分别为m1,m,m3,m+m2+m3=n,那么 5取值的平均数为多少呢? 2012/10/31
2 就上两例来说，我们需要引入能反映随机变量重要特征的 统计指标，随机变量的数学期望（均值）、方差（均值的偏离 程度）。 设随机变量 所有可能取的值为 ，但预期 1 2 3 x x x , , 1 2 3 3 x x x 取值的平均数一般不等于 ，因为 取每个值的 概率一般不同，概率大的值取到的机会多，概率小的值取到 的机会少，所以不能对随机变量所能取的每个值同等对待， 必须考虑其相应的概率。 例：假定对 作 n 次独立观察， 取值 x x x 1 2 3 , , 的次数 分别为 m m m 1 2 3 , , ， m m m n 1 2 3 ，那么 取值的平均数为多少呢？ 二、数学期望 2012/10/31
定义1:设离散型随机变量ξ的分布律为 P(9=x)=P 若级数∑xP绝对收敛,则称此级数的收敛值为 随机变量5的数学期望(简称期望)或均值。 记为E5=∑xP 就上例,5取值的平均数为x1+x22+x3t 其中是事件{=x}在n次观察中出现的频率,由概率 的统计定义,当n充分大时,≈P1=p(9=x) 所以,随机变量5真正的平均数为x1n1+x2D2+x3P3 2012/10/31 3
2012/10/31 3 定义1：设离散型随机变量 的分布律为 ( ) 1, 2, P x p i i i 若级数 绝对收敛，则称此级数的收敛值为 1 i i i x p 随机变量 的数学期望（简称期望）或均值。 记为 1 i i i E x p 就上例， 取值的平均数为 1 2 3 1 2 3 m m m x x x n n n 其中 是事件 在 n 次观察中出现的频率，由概率 mi n { }i x 的统计定义，当 n 充分大时， ( ) i i i m p p x n 所以，随机变量 真正的平均数为 1 1 2 2 3 3 x p x p x p
定义2:设连续型随机变量的分布密度为g(x), 若∫x9(x)dk绝对收敛,则称∫xo(x)为占 的数学期望。记为E=xg(x) 注意:1)一个随机变量的期望存在与否取决于级数∑xP 或广义积分∫x(x)dk是否绝对收敛,所以井 不是任何随机变量都存在数学期望。 2012/10/31
4 定义2：设连续型随机变量 的分布密度为 ( ) x ， 若 x x dx ( ) 绝对收敛， 则称 x x dx ( ) 为 的数学期望。记为 E x x dx ( ) 注意：1）一个随机变量的期望存在与否取决于级数 1 i i i x p x x dx ( ) 或广义积分 是否绝对收敛，所以并 不是任何随机变量都存在数学期望。 2012/10/31
例:设离散型随机变量ξ的概率函数为 P(5=k) =1 k(k+1) 由于级数∑xn|=k+=2k+发散, 所以,E5不存在。 2)一个随机变量的期望是一个常数,它表示的是随机变量取 值的平均,是以概率为权的加权平均值;它反映了随机变 量得一大特征,即随机变量取值集中在期望值附近。 3)计算时需要已知随机变量的分布律或分布密度。 2012/10/31
2012/10/31 5 2）一个随机变量的期望是一个常数，它表示的是随机变量取 值的平均，是以概率为权的加权平均值；它反映了随机变 量得一大特征，即随机变量取值集中在期望值附近。 3）计算时需要已知随机变量的分布律或分布密度。 例：设离散型随机变量 的概率函数为 1 ( ) 1, 2, ( 1) P k k k k 由于级数 1 | | k k k x p 1 ( 1) k k k k 1 1 k k 1 发散， 所以， E 不存在