§2平面和直线 平面的点法式方程 立体几何知识告诉我们,给定了与平面垂直 的方向和平面上的任意一点,就可以唯一确定这 个平面。 定义(法向量): 与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的 法向量,记为n(A,B,C)
1 立体几何知识告诉我们，给定了与平面垂直 的方向和平面上的任意一点，就可以唯一确定这 个平面。 一、平面的点法式方程 定义(法向量): n A B C ( , , ) 与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的 法向量，记为 . §2 平面和直线
设f(x,y,x)为平面上的一个点, n(A,B,C)为平面的法向量 n 平面上任一点P(x,y,z), 则PP⊥n 即nBP=0 Bp A(x-x0)+B(y-yo+C(z-z0=0* 为平面的点法式方程。-(4x0+Bn+Cn) 式变形为Ax+B+Cz+D=0 为平面的一般式(普通)方程
2 x y z o P0 P n 0 0 0 0 设 P x y z ( , , ) 为平面上的一个点， n A B C ( , , ) 为平面的法向量。 平面上任一点 P x y z ( , , ) ， 则 P P n 0 0 即 n P P 0 ＊式变形为 Ax By Cz D 0 ( ) Ax0 By0 Cz0 0 0 0 即 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0 ＊ 为 平面的点法式方程。 为 平面的一般式（普通）方程
说明: 若A,B,C有一个或两个为零,即此法向量n在 相应的一个坐标轴上的投影为零,则法向量 五=(A,B,C)垂直于相对应的一个或两个坐标轴。 例1、求过点M0(2,-1,4)和y轴的平面方程。 解:10建立所求平面的点法式方程 20建立平面的一般方程
3 说明： 若 A, B, C 有一个或两个为零，即此法向量 n 在 相应的一个坐标轴上的投影为零，则法向量 n A B C ( , , ) 垂直于相对应的一个或两个坐标轴。 例1、求过点 M0 (2, -1, 4) 和 y 轴的平面方程。 解：1 0 建立所求平面的点法式方程 2 0 建立平面的一般方程
确定平面的另一类条件 不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。 设平面所过的三个点为: P0(x0,y,x0),P1(x1,y1,x1),P(x2,V2,z2), 该平面的法向量n,n⊥P,n⊥PP ∴=1n×hP2 假设P(x,yz)为平面上任一点,则由点法式得 H·1P=(1P1×1P2)·BP=0 称为平面的三点式方程
4 二、确定平面的另一类条件 不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 P x y z P x y z P x y z ( , , ), ( , , ), ( , , ) , 0 1 n P P , 0 2 n P P , 设平面所过的三个点为： ∴该平面的法向量 n ， n P P P P 0 1 0 2 n P P0 0 0 2 0 1 ( ) 0 P P P P P P 假设 P x y z ( , , ) 为平面上任一点，则由点法式得 称为 平面的三点式方程
由混合积的定义、性质得 ox-x 0 四点共面的条件:y1-ynn2-yny-yn=0 0 2 0 展开后为Ax+By+Cz+D=0 说明:在实际计算时,可将已知点B,B1,P的 坐标代入平面的一般方程,用待定系数法 解出方程,比用三点式方程计算简便
5 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 z z z z z z y y y y y y x x x x x x 说明： 由混合积的定义、性质得 四点共面的条件： 展开后为 Ax By Cz D 0 在实际计算时，可将已知点 P P P 0 1 2 , , 的 坐标代入平面的一般方程，用待定系数法 解出方程，比用三点式方程计算简便