第七章多元脑数撒分学
1 第七章 多元函数微分学
多元函数微分学是一元函数微分学的推广, 两者有着相似之处,但也有本质的差异。应对照 一元函数性质来学习多元函数的微分学。 @
2 多元函数微分学是一元函数微分学的推广, 两者有着相似之处, 但也有本质的差异。应对照 一元函数性质来学习多元函数的微分学
§1多元函数的极限与连续 点邻域、内点、开集、区域等概念 1、邻的定义 设P(x0,yn)∈R2,存在δ>0,使得与点P距 离小于δ的点P(x,y)的全体,记为U(P,δ), 即U(P0,) PPks ={(x,y)√(x-x0)2+(y-y)2<8} 称U(P,8)为点P0的δ邻域 说明:设x∈R",δ>0,记O(x,)={(,x)<6 称O(元,δ)为元的δ邻域
3 §1 多元函数的极限与连续 一、点邻域、内点、开集、区域等概念 1、邻域的定义 P0 2 0 0 0 设 P x y R ( , ) , 0, 记为 0 U P( , ) , 2 2 0 0 {( , ) | ( ) ( ) } x y x x y y 即 U(P0 , ) P | P0 P | 称 ( , ) U P0 为 点P0的δ 邻域 . 说明: , 0 , n x R O x( , ) O(x, ) y d( y, x) x的 邻域 存在 使得与点 P0 距 离小于 的点 P(x, y) 的全体， 设 记 称 为
2、内点、边界点的定义 1)设DcR2,P(x,y)∈D,如果存在δ>0, 使得U(P,δ)cD,则称P为D的内点。 说明: D 对于ScR",如果存在δ>0, 使得O(元,δ)cS,则称为S的内点。 2)S的内点全体称为S的内部,记作S
4 2、内点、边界点的定义 x 说明: U P D ( , ) , P x y D ( , ) , D P O x S ( , ) , 0 2）S 的内点全体称为 S 的内部， S . 2 1）设 D R , , n 对于 S R 如果存在 δ﹥0 , 使得 则称 P 为 D 的内点。 如果存在 δ﹥0 , 使得 则称 为 S 的内点。 记作
3)对于DcR2δ>0,点P的任意邻城U(P,δ), 有U(P,δ∩D≠p,且U(P,δ)∩(R2\D)≠p 则称P为D的边界点。 说明: 对于任何的δ>0,均有O(x,δ)∩S≠ 且O(x,∩(R\S)≠p,则称x为S的边界点。 4)S的边界点全体称为S的边界,记作aS D
5 ( , ) ( \ ) , n O x R S 说明: D P S . 对于任何的δ> 0 ， O x S ( , ) U P D ( , ) , 2 U P R D ( , ) ( \ ) , 2 3）对于 D R , δ> 0 ，点 P 的任意邻域 U P( , ) , 有 且 则称 P 为 D 的边界点。 均有 且 则称 x 为 S 的边界点。 4）S 的边界点全体称为 S 的边界，记作