§3二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 般形式,d +p(h+9(x)y=f(x) 当∫(x)=0时,二阶齐次线性微分方程; 当∫(x)≠0时,二阶非齐次线性微分方程。 n阶线性微分方程 y+p1(x)y+…+pn1(x)y+pn(x)y=∫(x)
1 §3 二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 一般形式: 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 当 f (x) = 0 时, 二阶齐次线性微分方程; 二阶非齐次线性微分方程。 n 阶线性微分方程 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y p x y p x y p x y f x 当 f (x) ≠ 0 时
二阶线性微分方程解的结构: 1、二阶齐次线性微分方程解的结构: y+p(r)y+q(ry=0 定理1: 若y1(x)和y2(x)是二阶齐次线性微分方程的解, 则它们的线性组合c%1(x)+By2(x) 也是该二阶齐次线性微分方程的解。 问题:y=an(x)+βy2(x)a、勇常数, 是否一定是通解?
二阶线性微分方程解的结构: 1、二阶齐次线性微分方程解的结构: y p x y q x y ( ) ( ) 0 定理1: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的解， 则它们的线性组合 1 2 y x y x ( ) ( ) 也是该二阶齐次线性微分方程的解。 问题: y y x y x 1 2 ( ) ( ) 、 为常数， 是否一定是通解? 2
定理2 若y(x)和y2(x)是y"+p(x)y+q(x)y=0 在Ⅰ上的两个线性无关的解, 则:y=Cny1(x)+C22(x)C1、C2为常数 是该二阶齐次线性微分方程的通解。 如y”+y=0,n=c0Sxy2=simx y2=tanx≠常数 ∴GS.y=C1c0Sx+C2sinx
定理2: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是 y p x y q x y ( ) ( ) 0 在 I 上的两个线性无关的解， 是该二阶齐次线性微分方程的通解。 则: 1 1 2 2 y C y x C y x ( ) ( ) 为常数 C C 1 2 、 如 y y 0 , 1 2 y x y x cos sin 2 1 tan y x y 常数 1 2 GS y C x C x . cos sin 3
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构: J 定理:非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐 次线性微分方程的通解 证明:设2+p(x)+gq(x)y=f(x) y=y+y +P()的 d y )+q(x)y=0 y +p(x),-+q(x)y*=f(x)
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构: 定理: 非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐 次线性微分方程的通解 y y y 证明: 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 设 y y y 2 2 ( ) ( ) 0 d y dy p x q x y dx dx 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 4
两式相加得 d(y+y) +p(x) d(yt y +q(x)(y+y)=∫(x) dx j+y为非齐次线性微分方程的解, 又∵卩是相应齐次线性微分方程的通解, 包含两个任意常数 j+y中也包含两个任意常数, 卩+y’为非齐次线性微分方程的通解
2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) d y y d y y p x q x y y f x dx dx 两式相加得 y y 为非齐次线性微分方程的解， 又 y 是相应齐次线性微分方程的通解， 包含两个任意常数， y y 中也包含两个任意常数， y y 为非齐次线性微分方程的通解。 5