§2幂级数 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 2012/6/4
2012/6/4 1 §2 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
常数项级数 函数数项级数 数列{xn} n∈ N 函数列{un(x)}n∈N,x∈ 形式求和级数∑xn形式求和级数∑41(x),xEI 部分和S=∑x 部分和Sn=∑4(x),x∈ =1 S N收夢若limS不存在x∈-D S ∈D 若 limIn不存在发散 基本问题 则称D为∑矶(x)的收敛域 ∑xn敛散性 ∑(x)的收敛域D喜 H-=1 n=1 收敛级数的和S=∑xn 和函数S(x)=∑u1(x)的性质 n=」 2012/6/4 和函数的初等表示2
2012/6/4 2 常数项级数 数列 x n N n 形式求和 级数 部分和 若 lim n n s S 收敛 基本问题 收敛级数的和 函数数项级数 函数列 u x n N x I n ( ) , 形式求和 级数 部分和 若 lim n n s S x D 则称D为 的收敛域 和函数 的性质 和函数的初等表示 不存在 敛散性 不存在 的收敛域 D 发散 x I D
函数项级数的一般概念 、函数项级数的定义 设给定一个定义在区间Ⅰ上的函数列, 1(x),U2(x),…,Ln(x) 称∑,(x)=u(x)+l2(x)+…+1(x)+ 为定义在区间Ⅰ上的函数项级数。 2012/6/4 3
2012/6/4 3 1、函数项级数的定义 设给定一个定义在区间 I 上的函数列， 为定义在区间 I 上的 1 2 ( ), ( ), , ( ) , u x u x u x n 称 函数项级数。 一、函数项级数的一般概念
2、收敛点与收敛域的定义 1)若对于固定的x∈I,常数项级数∑矶(x)收敛, = 则称函数项级数∑un(x)在点x收敛,或称 x是∑u1(x)的收敛点,否则x称为发散点 2)函数项级数收敛点的全体所构成的集合D, 称为级数的收敛域, 所有发散点的全体集合称为发散域。 2012/6/4
2012/6/4 4 2、收敛点与收敛域的定义 1) 若对于固定的 常数项级数 收敛, 则称函数项级数 0 在点 x 收敛, 或称 0 x 是 的 否则 0 x 称为 2) 函数项级数收敛点的全体所构成的集合 D , 称为级数的 收敛点， 发散点。 收敛域， 所有发散点的全体集合称为 发散域
3、和函数 1)在收敛域D上,函数项级数的和是x的函数, 称为函数项级数∑l1(x)的和函数, 记为S(x)=∑un(x)x∈D H-=1 2)若用S(x)表示函数项级数前n项的和, 甲Sn(x)=∑u4(x) k=1 若x∈DS(x)= :lim s(x)=im∑(x)存在 k=1 则称S(x)为函数项级数∑1(x)的和函数。 2012/6/4
2012/6/4 5 3、和函数 记为 1) 在收敛域 D上, 函数项级数的和是 x 的函数， 和函数。 1 ( ) ( ) n n S x u x x D 称为函数项级数 的 ( ) S x n 2) 若用 表示函数项级数前 n 项的和， 即 1 ( ) ( ) n n k k S x u x 若 x D ( ) lim ( ) n n S x S x 1 lim ( ) n k n k u x 存在 则称 S x( ) 为函数项级数 的 和函数