第宄章级数
1 第九章 级数
§1数项级数 级数是研究函数的表示、性质及进行数值计算 的一种工具。是以极限理论为基础的 向题的提出 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积S1+S2 正3×2”形的面积S1+S2+S3 4=S,十S+…S+ 33 3 3 2、 十 十 … 3101001000 10
2 §1 数项级数 一、问题的提出 级数是研究函数的表示、性质及进行数值计算 的一种工具。是以极限理论为基础的。 1、计算圆的面积 R 正六边形的面积 1 s 正十二边形的面积 1 2 s s 正 32 n 形的面积 1 2 3 s s s A s s s 1 2 n 1 3 3 3 3 2 3 10 100 1000 10n 、
悖论:从“正确”的前提出发,经过“正确”的推理, 得出矛盾或荒谬的结论。如: “万物皆数”学说认为“一切都可以归结为整数 及整数比”,这是“正确”的前提。 根据勾股定理及逻辑推理,边长为1的正方形 的对角线之长却不能表示为整数的比 这是“正确”的推理,但结论却是与前提互相矛盾。 芝诺悖论:(之一) 阿基里斯( Achilles)追不上乌龟 阿基里斯是古希腊传说中跑得很快的神,而乌龟 是爬得很慢的动物。芝诺却说,他可以证明,如果让 乌龟先爬出一短距离,那阿基里斯永远也追不上乌龟
3 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的推理， 得出矛盾或荒谬的结论。 如： “万物皆数”学说认为“一切都可以归结为整数 及整数比”，这是“正确”的前提。 根据勾股定理及逻辑推理，边长为 1 的正方形 的对角线之长却不能表示为整数的比。 这是“正确”的推理，但结论却是与前提互相矛盾。 芝诺悖论：（之一） 阿基里斯（Achilles）追不上乌龟 阿基里斯是古希腊传说中跑得很快的神，而乌龟 是爬得很慢的动物。芝诺却说，他可以证明，如果让 乌龟先爬出一短距离，那阿基里斯永远也追不上乌龟
芝诺的证明如图 100 10,1,10 问题出在哪里? A3 分析:阿基里斯追上乌龟所走过的路程为 S=100+10+1+—+…+— 10 10 记S.=100+10+1+—+… 110+ 10 10 10″ 当n→∞越来越大时,sn越来越接近s, 10 1000 1000 当n→∞0时, lim sn9s=9
4 芝诺的证明如图 100 A1 10 A2 1 A3 A4 A n 1 10 问题出在哪里？ 分析：阿基里斯追上乌龟所走过的路程为 1 1 100 10 1 10 10n s 1 1 100 10 1 10 10 n n 记 s 1 1 10 110 1 1 10 n 1000 lim 9 n n s 当n→∞ 越来越大时，sn 越来越接近 s， 1000 ( ) 9 当n→∞ 时， s m
、级数的概念 1、级数的定义 定义一般地,设給定一个数列x,x2,…,xn, 则式子x+x2+…十xn+… 一般项 称为无穷级数记为∑ n-=1 其中xn称为此级数的通项或一般项,1为级数的首项。 如果 灼为常数(一列实数),则称∑x为常数项裂数 H-=1 为画数,则称为画数项级数记为∑
5 一、级数的概念 1、级数的定义 1 2 n x x x 1 2 , , , , n x x x 1 n n x 定义 一般地,设给定一个数列 则式子 称为 无穷级数 记为 1 其中 xn 称为此级数的通项或一般项， x 为级数的首项。 一般项 如果 n x 均为常数(一列实数)，则称 1 n n x 为常数项级数 为函数，则称为函数项级数 记为 1 ( ) n n u x