§3链式求导法则 、多元函数求导的链式法则 定理设二元函数L=f(y,y2)可微, 二个二元函数{=81(x,x2) 可微, 2(19~2 则u作为(X1,x2)的函数是可微的, auau ay, au ay ax, ay, ax, ay, a au Ou av, au ay ax, ay, ax, av2 ax2 链式法则如图示l 2012/2/19
2012/2/19 1 §3 链式求导法则 一、多元函数求导的链式法则 定理 设二元函数 1 2 u f y y ( , ) 可微， 二个二元函数 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) y g x x y g x x 可微， 则 u 作为 1 2 ( , ) x x 的函数是可微的， 且 1 u x 2 u x 1 2 1 1 2 1 u u y y y x y x 1 2 1 2 2 2 u u y y y x y x 1 y 2 y x1 链式法则如图示 u x2
对三元函数=f(v1,y2,y3)可微, 个二元函数 g1(x1,x2) 3 auau a, au ay, au ay 十 i=12 Ox av, ax a 2 ax. av, a 3 2012/2/19
2012/2/19 2 1 2 3 1 2 3 1,2 i i i i u u u u y y y i x y x y x y x u 1 y 2 y 3 y 1 2 3 对三元函数 u f y y y ( , , ) 可微, 三个二元函数 x1 x2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) y g x x y g x x y g x x
对m元函数=f(1,…,ym)可微, g1(x,…,x) n个m元函数 可微, 1 则u作为(x1,…,xn)的函数是可微的, au ay 且 9 a ∑ av. ax 实质 因变量u关于自变量x;的偏导数,等于u关于 各中间变量的偏导数与该中间变量关于x;的 偏导数乘积之和 2012/2/19 3
2012/2/19 3 对 m 元函数 1 ( , , ) u f y y m 可微, n 个 m 元函数 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n m m n y g x x y g x x 可微, 则 u 作为 1 ( , , ) n x x 的函数是可微的, 且 1 1, , m j j i j i u u y i n x y x 实质: 因变量 u 关于自变量 xi 的偏导数，等于u 关于 各中间变量的偏导数与该中间变量关于 xi 的 偏导数乘积之和
例1、设z=f(x,y)= e sin y,x=st,y az az 求 as ot 解:z2.x az a as ax as ay as e sin y·t+e"cosy =te(sin Cos SS S azaz ax az ay 十 at ax at ay at e sin y·s+ e cos y =e ( ssin-t-cos 2012/2/19
2012/2/19 4 z x z y x t y t sin x e y s 1 ( sin cos ) st t t e s s s s . t y s 例 1、设 ( , ) sin , x z f x y e y x st , , zs . zt 求 解： z x z y x s y s sin x e y 21 (sin cos ) st t t te s s s t cos x e y 2 ( ) ts 1 cos x e y s zs zt
在复合函数中若只有一个自变量, ep =f(,y)x=p(t) y=y(t) dz a d a dy 称为全导数。 dt ax dt ay dt 2012/2/19
2012/2/19 5 在复合函数中若只有一个自变量， 即 z f x y ( , ) x t y t ( ) ( ) dz dt z dx z dy x dt y dt 称为 全导数。 z t x y