复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第四章 矩阵和线性方程组 线性方程组4.6

§6线性方程组 解线性方程组常用的三个方法: 1) Crammer法则; 2)消元法; 3)利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。 秩是求解线性方程组的核心概念! 2011/9/3

2011/9/3 1 §6 线性方程组 解线性方程组常用的三个方法： 1）Crammer 法则； 2）消元法； 3）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。 秩是求解线性方程组的核心概念！

、利用矩阵的秩讨论线性方程组 设线性方程组「an1x1+a12x2+…+amx a21x,+a22x2+.+a2mxm=b, +a.,x,+∴+a.x.=b 2 即:An数mXm=Bm1 我们已介绍过消元法解线性方程组实质是, 用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形 矩阵,因为行等价的矩阵对应的线性方程组是 同解的线性方程组。 2011/9/3

2011/9/3 2 一、利用矩阵的秩讨论线性方程组 设线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    即： A X B n m m n    1 1  我们已介绍过消元法解线性方程组实质是， 用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形 同解的线性方程组。 矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是

阶梯矩阵为 11 12 Ir r 0d. 0000000 1)若dr+1≠0,意味着r(4)≠r(A) 则方程组无解; 2011/9/3 3

2011/9/3 3 阶梯矩阵为： 11 12 1 1 1 22 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r m r m rr rm r r c c c c d c c c d c c d d        1）若 1 0 , r d   意味着 r A r A ( ) ( )  则方程组无解；

2)若dn1=0,且r(4)=m.即r(4)=r(A)=m 若干初等行变换 方程组未知个数 阶梯形矩阵/n0…04 再经有限次的: 初等行变换 00 则方程组有唯一解 2 写成矩阵形式x 2011/9/3

2011/9/3 4 2）若 1 0 , r d   且 r A m ( ) .  即 r A r A m ( ) ( )   方程组未知个数 A 若干初等行变换 阶梯形矩阵 再经有限次的 初等行变换 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m d d d        则方程组有唯一解 1 1 2 2 m m x d x d x d              写成矩阵形式 1 2 m x x x             1 2 m d d d              

3)若dn1=0,且r(A)<m.即r(4)=r(4)<m 方程组未知个数 0 0 0 2r+1 经有限次的 初等行变换 rr+1 有r个独立未知量,r个独立方程, m个自由未知量。 则此方程组有无穷多组解。 2011/9/3

2011/9/3 5 且 r A m ( ) .  即 r A r A m ( ) ( )   A 经有限次的 初等行变换 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 r m r m rr rm m c c d c c d c c d                   有r 个独立未知量，r 个独立方程， 则此方程组有无穷多组解。 1 0 , r d 3）若   方程组未知个数 m-r 个自由未知量