第八章多元脑數积分学
1 第八章 多元函数积分学
§1重积分的概念及其性质 、问题的提出 曲顶柱体的体积 先看平顶柱体的体积 柱体的体积=底面积X高 石团 那么曲顶柱体呢?
2 §1 重积分的概念及其性质 一、问题的提出 曲顶柱体的体积 先看平顶柱体的体积 柱体的体积 = 底面积 ×高 那么曲顶柱体呢？
曲顶柱体: z=f(x, y) ∫是定义在平面区域G上的一个 曲面 非负二元函数(曲面),以此曲面 z=f(x,y)为顶,以Oy平面上区 域σ为底的空间区域,其侧面是以 的边界为准线,母线平行于z轴 的柱面。 求此曲顶柱体体积的过程: 分四步:
3 x z o y z f x y ( , ) 曲面 曲顶柱体： f 是定义在平面区域 σ 上的一个 非负二元函数（曲面），以此曲面 z = f (x, y) 为顶，以 Oxy 平面上区 域 σ 为底的空间区域，其侧面是以 σ 的边界为准线，母线平行于 z 轴 的柱面。 求此曲顶柱体体积的过程： 分四步：
1)分割: 分割区域σ为n个小区域△1;…,△σn 即得到n个小曲顶柱体, f∫(x,y) △1:第i个小区域的面积; 曲面 2)代替: 在每个小区域上任取一点 (x1,y1),…,(xn,Jn) 则第i个小曲顶柱体的体积就 用小平顶柱体体积近似代替 ΔV=f(x1,y)△1; △
4 1 , , , n x z o y z f x y ( , ) 曲面 i : i 1 1 ( , ) , ,( , ) , n n x y x y i x ( , ) ; V f x y i i i i i y 1) 分割: 分割区域 σ 为 n 个小区域 即得到 n 个小曲顶柱体， 第 i 个小区域的面积； 2) 代替: 在每个小区域上任取一点 则第 i 个小曲顶柱体的体积就 用小平顶柱体体积近似代替
3)求和: n个平顶柱体的体积之和 ∑△V≈∑∫(x,P)A 为曲顶柱体体积的近似值; 4)取极限: 使分割越来越细,且这些小区域都趋于一点(即 小区域的最大直径mnx{4}→0) 上式和式的极限就是曲顶柱体的体积 im∑f(x,y)A max4,1-30
5 max 0 di max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i V f x y 4) 取极限: 使分割越来越细，且这些小区域都趋于一点（即 小区域的最大直径 ）， 上式和式的极限就是曲顶柱体的体积 1 n i i V V 1 ( , ) n i i i i f x y 3) 求和: n 个平顶柱体的体积之和 为曲顶柱体体积的近似值；