《数学分析》课程教学资源（教案讲义）不定积分

Ch8不定积分（16时) §1概念基本公式初等化简求积分（2时) 引入：微分问题的反问题，运算的反运算 一.不定积分的定义： 1,原函数： 例1填空：( y=+ )'=-2cosx )=x2; d )=e*-sin x;d( ）=xdk: )'arctgx. =arctgx. 定义.注意f(x)是∫'(x)的一个原函数 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法 原函数的个数 Th若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对Vc一Const,F(x)+c都是 f(x)在区间I上的原函数：若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数，则必有 G(x)=F(x)+c.(证) 可见，若f(x)有原函数F(x),则f(x)的全体原函数所成集合为 (F(x)+cIc∈R. 原函数的存在性：连续函数必有原函数.（下章给出证明） 可见，初等函数在其定义域内有原函数，若∫(x)在区间I上有原函数，则f(x) 在区间I上有介值性。 85

85 Ch 8 不定积分 （ 16 时 ） §1 概念 基本公式 初等化简求积分（ 2 时 ） 引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 一. 不定积分的定义: 1． 原函数： 例 1 填空: 2 1 1 ( ) + x  = ; ( ) = −2cos x ; 2 ( ) x dx d = ; e x dx d x ( ) = − sin ; d( ) = xdx ; ( ) = arctgx .       − ln(1+ )] = . 2 1 [ 2 xarctgx x arctgx 定义. 注意 f (x) 是 f (x) 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数, 则对 c— Const， F(x) + c 都是 f (x) 在区间 I 上的原函数；若 G(x) 也是 f (x) 在区间 I 上的原函数， 则必有 G(x) = F(x) + c . ( 证 ) 可见，若 f (x) 有原函数 F(x) ，则 f (x) 的全体原函数所成集合为 { F(x) + c │ c Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ). 可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 f (x) 在区间 I 上有原函数, 则 f (x) 在区间 I 上有介值性

例2已知F(x)为f(x)=2x的一个原函数，F(2)=5.求F(x) 2.不定积分一原函数族：：定义，不定积分的记法，几何意义 制3产=arex+c：j写+c 3.不定积分的基本性质：以下设f(x)和g(x)有原函数 四（[f(x)d)=f(x),d[f(x)=f(x)d.(先积后导，形式不变)】 (2∫f"(x)=f(x)+c,「df(x)=f(x)+c.(先导后积多个常数) 3)a≠0时，「cd(x)dk=a[f(x). ④「(f(x)±g(x)k=「f(x)±「g(x)d 由3)、(4)可见，不定积分是线性运算，即对廿α，B∈R,有 (af(x)+Bg(x))dx=a[f(x)dx+B[g(x)dx. (当α=B=0时，上式右端应理解为任意常数.) 例42x-=x+x+c.求/).(/0)2). 二.不定积分基本公式：基本积分表[1P240-242公式1一-14. s意 三.利用初等化简计算不定积分：参阅4P181 例6P(x)=ax”+a,x"-+.+an-x+an求∫P(x)k 86

86 例2 已知 F(x) 为 f (x) = 2x 的一个原函数, F(2) =5 . 求 F(x). 2. 不定积分—— 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例 3  = + + arctgx c x dx 2 1 ;  x dx = x + c 2 3 3 1 . 3. 不定积分的基本性质: 以下设 f (x) 和 g(x) 有原函数. ⑴ ( )   = =  f (x)dx f (x), d f (x)dx f (x)dx . (先积后导, 形式不变). ⑵   f (x)dx = f (x) + c, df (x) = f (x) + c . (先导后积, 多个常数) ⑶   0 时，   f (x)dx =  f (x)dx. ⑷    ( f (x)  g(x))dx = f (x)dx  g(x)dx. 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对  ,  R , 有    (f (x) + g(x))dx =  f (x)dx +  g(x)dx. ( 当  =  = 0 时,上式右端应理解为任意常数. ) 例 4  f x − dx = x + x + c 3 3 1 (2 1) . 求 f (1) . ( f (1) =2 ). 二. 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P240—242 公式 1—14. 例 5  3. x x dx . 三．利用初等化简计算不定积分: 参阅[4]P181. 例 6 n n n n P x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( )  . 求  P(x)dx . 例 7         + = − + + + ) . 1 2 ( 1 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x

州德 ,4 例10()「10-10)2d;(2)「22-e3dk Ⅱ 八-2sn=】 sin2x 例2∫os0sm20 de Ex[1]P2442,3,4(1)-00: [4P247-2541-3,5,6,72(1)-(58(9) §2换元积分法与分部积分法(10时) 一.第一类换元法—凑微法： dsin5 2x=5sin 2xdsin 2x =5sin 2x(sin 2x)'dx =10sin2xcos2xdx, 10sin2xcos2xdx=5 sin 2x(sin 2x)'dx =5 sin*2xdsin 2x 5fu'du=+c=sin 2x+c. 引出凑微公式 Th若[f(x)dk=F(x)+C,(x)连续可导，则 JfL()]p')d=FL(】+c 该定理即为：若函数g()能分解为 g(t)）=f几()]0'(t)

87 例 8  + 2 2 1 x x dx . 例 9  + + dx x x x (1 ) ( 1) 2 2 . 例 10 ⑴  − − dx x x 2 (10 10 ) ; ⑵  − + 2 . 2 3 1 e dx x x 例 11           = − = dx  x x dx x x 2 2 2 sin 1 2sin sin cos 2 . 例 12     2 2 cos sin d . Ex [1]P244 2，3，4 ⑴―⒁； [4]P247—254 1—3，5，6，72 ⑴―⑸⑻⑼. § 2 换元积分法与分部积分法 （1 0 时 ） 一. 第一类换元法 ——凑微法： 由 sin 2 5sin 2 sin 2 5sin 2 (sin 2 ) 10sin 2 cos2 , 5 4 4 4 d x = x d x = x x dx = x xdx     10sin 2x cos 2xdx = 5 sin 2x(sin 2x)dx = 5 sin 2x d sin 2x 4 4 4 u=sin2x =====  5 = + = sin 2 + . 4 5 5 u du u c x c 引出凑微公式. Th 若  f (x)dx = F(x) + c, (x) 连续可导, 则  f [(t)](t)dt = F[(t)] + c. 该定理即为： 若函数 g(t) 能分解为 g(t) = f [(t)](t)

就有「g)d=「f几u)p'u)d=[f几u0d) n∫fd=Fx)+c=F】+c 例1「(ar+b)"dc,m≠-l,a≠0. 例2「sec2(5-3x)dk. 例3fos3ros2h-casx+cos5h= 常见微分凑法：[4]P183-190. 法1+6达=四+br+b创=fo咖 4jsm2x-0-os0达=.-n20+c 州加疏日 由例4一7可见，常可用初等化简把被积函数化为f(ar+b)型，然后用凑法1. 例8四空 。停-9

88 就有    g(t)dt = f [(t)](t)dt = f [(t)]d(t) x= (t) ====  f (x)dx = F(x) + c = F[(t)] + c . 例 1 ( + ) ,  −1,  0  ax b dx m a m . 例 2  sec (5 − 3x)dx 2 . 例 3   x xdx = (cos x + cos5x)dx =  2 1 cos3 cos 2 常见微分凑法：[4]P183—190. 凑法 1 ( ) . 1 ( ) ( ) 1 ( ) f u du a f ax b d ax b a f ax + b dx = + + = 例4   = − = = − sin 2 ) + . 2 1 ( 2 1 (1 cos ) 2 1 sin 2 xdx x dx  x x c 例5  = = + + . 2 2 2 2 2 c x arctg x dx  例6   + + = = + + = + + . 2 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2 c x arctg x dx x x dx  例7     =      + − − = + − = + − dx x x x x dx x x dx 3 1 1 1 4 1 2 3 ( 3)( 1) 2 . 3 1 ln 4 1 c x x + + − =  = 由例 4—7 可见，常可用初等化简把被积函数化为 f (ax + b) 型，然后用凑法 1. 例 8 ⑴  + 2 1 x xdx . ⑵   = = + = + 10  10 5 10 14 4 ( ) 5 1 4 x x d x x x dx c x x arctg +        = − 2 2 5 1 5 5

族法2“cd=/ax=fod,特别地有 fu=5eae-fuh和t=2wG x 例9 xsnx产. 例10∫血乐在 产司可海 =2arcsin x+c -G) 2二-h 凑法3f(sinx)cosxdx=f(snx)dsin x-f(u)dr f(cos x)sin xdx=-f(cosx)d cosx=-f(u)du; f(tgx)sec2xdx=f(igx)digx=f(u)du. 例13ωjsn3 xcosxds②∫sn3xdk 朝w小e一-c [1]P247E6 例15∫secx=+g2xdgr=. 例16∫exsec'xdt=∫gxsec2 dsecx=∫6ec2x-lsec2 d secx= 凑法4f(e)e'k=f(e)der=f(u)du. 89

89 凑法 2 f u du k f x d x k x f x dx k k k k ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 = = − . 特别地, 有 . f x xdx f x d x f (u)du 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 = = 和 dx f ( x )d x x f x 2 ( ) = . 例 9  x x dx 2 sin . 例 10  . sin dx x x 例 11  = x(1 − x) dx ( )  = + − x c x d x 2arcsin 1 2 2 . 例 12           + ==== − + = + = + = du x x u u d x x x xdx x x dx u x 1 1 1 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2 2 = c x x c u u + + + = + 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 2 . 凑法 3 f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du; f (cos x)sin xdx = − f (cos x)d cos x = − f (u)du; ( )sec ( ) ( ) . 2 f tgx xdx = f tgx dtgx = f u du 例13 ⑴  sin cos . 3 x xdx ⑵  sin . 3 xdx 例 14  + − + = = . 1 sin 1 sin ln 2 1 sec c x x xdx  [1]P247 E6 例 15 ( )   xdx = + tg x dtgx = 2 6 2 sec 1 . 例 16 ( )    sec = sec sec = sec −1 sec sec = . 2 2 t g5 x 3 xdx t g4 x 2 d x 2 x d x  凑法 4 f (e )e dx f (e )de f (u)du. x x x x = =