如果当各小弧段的长度的最大值入→0时， 这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分，记作，f(x,y),即 被积函数 ∫f ∑f(5,n)△s 积分和式 积分曲线 弧长元素 曲线形构件的质量M=」，p(x,y)
0 1 0 , , ( , ) ( , ) , ( , ) lim ( ) , , . L n i i i L i f x y L f x y ds f x y ds f s 对弧长的曲线积分或第 如果当各小弧段的长度的最大值 时 这和的极限存在 则称此极限为函数 在曲线弧 上 一类曲 线积分 记作 即 被积函数 积分曲线 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . L M x y ds 弧长元素
思考： (I)若在L上f化，y)=1,问[ds表示什么？ (2)对弧长的曲线积分要求ds≥0. 2.存在条件： 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时， 对弧长的曲线积分」f(x,)存在
2.存在条件： ( , ) , ( , ) . L f x y L f x y ds 当 在光滑曲线弧 上连续时 对弧长的曲线积分 存在 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, d ? L s 问 表示什么 (2)对弧长的曲线积分要求 ds 0
3推广 函数f(x,y》,z)在空间曲线弧Γ上对弧长的 曲线积分为fx达=mf5,6)△： i=1 注意：（①若L(或）是分段光滑的，(L=L+L) Jfx,yds-Jfxys+f.yds. (2)函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线 积分记为∮，f(x,)还. (3)由于>0故nfc,y)=∫B,f,)b
注意： 1 2 (1) ( ) , ( ) 若 L L L L 或 是分段光滑的 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) . L L L f x y ds f x y ds f x y ds (2) ( ( , ) . , ) L f x y d L s f x y 函数 在闭曲线 上对弧长的曲线 积分记为 3.推广 0 1 ( , , ) ( , , ) lim ( , , ) . n i i i i i f x y z f x y z ds f s 函数 在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为 (3) 0 ( , ) ( , ) AB BA ds f x y ds f x y ds 由于 故
4.性质 (1),[af(x,y)+Bg(x,y)lds =aJf(x.y)ds+BJg(x,y)ds. (2fx,=2fx,)+丁fc,). (L=L+L2) (3)设在L上f(x,y)≤g(x,y,则 ∫fx,J)≤(xy)ds 特别地fc,≤∫fx6
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds 1 2 1 2 (2) ( , ) ( , ) ( , ) . ( ). L L L f x y ds f x y ds f x y ds L L L (3) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) L L L f x y g x y f x y ds g x y ds 设在 上 则 ( , ) ( , ) L L f x y ds f x y ds 特别地
三、对弧长曲线积分的计算 定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续， 的参数方程为 [x=o(t), (a≤t≤B)其中 (y=V(t), p(t),w(t)在[a,B1上具有一阶连续导数，且 ∫fx,y)k=∫fp(),w(No2()+y()t (a<β)
三、对弧长曲线积分的计算 2 2 ( , ) , ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L f x y L x t L t y t t t f x y ds f t t t t dt 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 其中 在 上具有一阶连续导 理 数 且 定