§1特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念及性质 二、特征值与特征向量的计算
§1 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念及性质 二、特征值与特征向量的计算
特征值与特征向量的概念及性质 定义61设A是n阶矩阵,如果存在数和r维非 零列向量x,使得 Ax=/x (6.1) 那么数λ称为矩阵A的特征值,非零列向量x 称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量 由此可见,特征向量与特征值的概念相关联,不同 的特征值对应的特征向量不同,且特征向量一定是非零
一、特征值与特征向量的概念及性质 定义6.1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和 n 维非 零列向量 x ，使得 Ax = x , （6.1） 那么数 称为矩阵 A 的特征值，非零列向量 x 称为矩阵 A 的属于特征值 的特征向量． 由此可见，特征向量与特征值的概念相关联，不同 的特征值对应的特征向量不同，且特征向量一定是非零
列向量 根据矩阵的运算,容易得出特征值与特征向量的 下列一些基本性质 性质1设x是矩阵A的属于特征值λ的特征向量, 对于任意的非零常数k,则k也是矩阵A的属于特征值 λ的特征向量 这是因为,由Ax=a,可得 A(kx)=kAx=kx=/(hx)
列向量. 根据矩阵的运算，容易得出特征值与特征向量的 下列一些基本性质． 性质1 设 x 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量， 对于任意的非零常数 k ，则 kx 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量. 这是因为， 由 Ax = x ，可得 A(kx) = k Ax = kx = (kx)
性质2设x,x都是矩阵A的属于的特征向量,那么 当x1+x2≠0时,x1+x2也是矩阵A的属于特征向量 因为Ax1=x1x2=x2,所以 A(x1+x2)=(4x1+Ax2)=Ax1+Ax2=(x1+x2) 综合上述两性质可知,矩阵A的属于同一特征值 的有限个特征向量x1,x2,…,x的任意一个非零线性组合 x=kx +k +kx也是矩阵A的属于特征值的特征 向量
性质2 设 1 2 x ,x 都是矩阵 A 的属于 的特征向量，那么 当 x1 + x2 0 时, x1 + x2 也是矩阵 A 的属于 的特征向量. 因为 Ax1 = x1 Ax2 = x2 , ，所以 ( ) ( ) ( ) A x1 + x2 = Ax1 + Ax2 = x1 + x2 = x1 + x2 综合上述两性质可知，矩阵 A 的属于同一特征值 的有限个特征向量 xl x ,x , , 1 2 的任意一个非零线性组合 l l x = k x + k x ++ k x 1 1 2 2 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征 向量
定理61设2…λ是m阶矩阵A的m个互不相同 的特征值,x,x2,…,xm分别是的属于x…,的特征向量, 那么向量组x1x2,…xm线性无关 证设存在一组数λ42…使得 kx.=0 62) 用A左乘(62)式的两端得 ∑k,4x,=∑k (3) 又用A左乘(6.3)式的两端,得
定理6.1 设 m , , 1, 2 是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同 的特征值， 1 2 xm x ,x , , 分别是 A 的属于 m , , 1, 2 的特征向量， 那么向量组 1 2 xm x ,x , , 线性无关. 证 设存在一组数 m , , 1, 2 使得 x = 0 = m i i i k 1 , (6.2) 用 A 左乘(6.2)式的两端,得 x = x = 0 = = i i m i i m i i i k A k 1 1 , (6.3) 又用 A 左乘(6.3)式的两端,得