4.3平面 平面的方程 利用平面方程研究平面
4.3 平 面 •平面的方程 •利用平面方程研究平面
§4.3平面 一、平面的方程 1.平面的点法式方程 法线向量(法向量)m:垂直于平面x 设x上点Mx0,y,z) 法向量n=(A,B,C) 则点M(x,y,2在平面z上冷MM,n=0
§4.3 平 面 一、平面的方程 1. 平面的点法式方程 法线向量(法向量)n: 垂直于平面 设上点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量n = (A , B , C) 则点M(x , y , z)在平面上 M0 M n M0 M n = 0
即平面的点法式方程 A(x-x0)+By-yn)+C(z-=0)=0 2、平面的一般方程 由点法式方程,令D=(4x+B+Cz0) 化为平面的一般方程 Ax+ By +Cz+D=0 其中A,B,C不全为零 即平面方程是一个三元一次方程
即平面的点法式方程 2、平面的一般方程 由点法式方程，令 化为平面的一般方程 其中A , B , C不全为零. 即平面方程是一个三元一次方程。 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = Ax + By +Cz + D = 0 ( ) D = − Ax0 + By 0 +Cz0
反之,任何一个三元一次方程,只要一次项 系数不全为零,它的图形就是一个平面 证设三元一次方程 Ax+ By+Cz+D=0 找出一组解x,y,如,即 Byo Czo +D=o
反之，任何一个三元一次方程，只要一次项 系数不全为零，它的图形就是一个平面. 证 设三元一次方程 找出一组解 x0 , y0 , z0，即 Ax + By +Cz + D = 0 Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0
两式相减得 A(x-x0)+B(-y)+C(z-=)=0 →(A,B,C)·(x-x02y-y,2-20)=0 即点M(x,y,z在过点M(x0,y,动且与向量 n=(A,B,C)垂直的平面上,因此一次方程 Ax+ By+Cz+D=0 表示过M且垂直于向量n的平面
两式相减得 即点M(x , y , z)在过点 M0 (x0 , y0 , z0 )且与向量 n = (A , B , C)垂直的平面上 ，因此一次方程 表示过M0且垂直于向量n的平面． ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = ( , , ) ( , , ) 0 A B C x − x0 y − y0 z − z0 = Ax + By +Cz + D = 0