成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 n维向量空间（4.4）线性方程组解的结构

§4线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

§4 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构 设有齐次线性方程组 a1x1+a12x2+….+a 0 a1x1+a2x,+….+a 0 (5.16) 十…+a.x 那么(516)可以写成方程 Ax=0 (5.17)

一、齐次线性方程组解的结构 设有齐次线性方程组                  0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     ， （5.16） 记 ( ) , ij m n A a          n x x x  2 1 x 那么（5.16）可以写成方程 Ax  0 ． （5.17）

下面我们讨论矩阵方程(5.17)的解向量的性质 性质1如果X=31,x=52为方程(5.17)的解向量, 那么x=51+52也是方程(5.17)的解向量 证只需验证x=1+2满足方程(5.17) A(1+2)=A81+A2=0+0 证毕 性质2如果x=为方程(517)的解向量,k为实 数,那么x=k是方程(5.17)的解向量 证只需验证x=kξ满足方程(5.17): A(k2)=k4(9)=k0=0 证毕

下面我们讨论矩阵方程（5.17）的解向量的性质． 性质1 如果 1 2 x  ξ , x  ξ 为方程（5.17）的解向量， 那么 1 2 x  ξ  ξ 也是方程（5.17）的解向量． 证 只需验证 1 2 x  ξ  ξ 满足方程（5.17）： A(ξ 1  ξ 2 )  Aξ 1  Aξ 2  0  0 证毕 性质2 如果 x  ξ 为方程（5.17）的解向量，k为实 数， x  kξ是方程（5.17）的解向量． 证 只需验证 x  k ξ 满足方程（5.17）： A(kξ)  kA(ξ)  k0  0 证毕 那么

如果用S表示方程(5.17)的全体解向量所组成 的集合,那么性质1及性质2就是 (1)如果ξ∈S,2∈S,那么51+2∈S (2)如果ξ∈S,k∈R,那么k∈S 这就说明集合S对向量的线性运算是封闭的,所以 集合S是一个向量空间,称为齐次线性方程组(516) 或(5.17)的解空间 为了呈示齐次线性方程组解的结构,下面我们求解 空间S的一个基 设R(A)=r(r<n),并不妨设A的前个列向量线性无关

如果用 S 表示方程（5.17）的全体解向量所组成 的集合，那么性质1及性质2就是 (1) 如果  S  S 1 2 ξ ,ξ ，那么  S; 1 2 ξ ξ (2) 如果 ξ  S, k  R，那么 kξ  S. 这就说明集合 S S 对向量的线性运算是封闭的， 集合 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（5.16） 或(5.17)的解空间． 为了呈示齐次线性方程组解的结构，下面我们求解 空间S 的一个基． 设R(A)  r(r  n),并不妨设 A的前r个列向量线性无关 所以

对A施行初等行变换可以得到行最简形矩阵 0 00 由矩阵C对应的方程组得 11r+1 (518) 由第二章知,方程组(5.16)与(518)等价在

对 A施行初等行变换可以得到行最简形矩阵          0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 11 1               r r n r n r c c c c C 由矩阵 C 对应的方程组得 n r r r r n r r n r n x c x c x x c x c x                  1 1 , 1 11 1 1,    ． （5.18） 由第二章知，方程组（5.16）与（5.18）等价.在