《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第四章 随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征 教学目的:了解随机变量数字特征这个概念引入的必要性,掌握如下数字特征的定义:数学期望,方差 协方差,矩,相关系数。知道各种数字特征所表达的实际意义,了解它们之间的联系与区别,各自的使用 范围与领域。掌握协方差矩阵,并了解其在多元统计分析中的重要地位。 教学方法:课堂讲授与软件演示相结合。首先通过身边例子引入数学期望这个基本概念,然后讲解其四条 基本性质,并且介绍随机变量函数数学期望的简洁求法。紧接着引入另一个重要的概念,即方差,介绍方 差的常用简洁计算方法及其四条性质。其次,重点讲解常用随机变量的数学期望与方差的计算方法,方法 本身可不做过多介绍,但是结果一定要强调。再者,引入协方差的概念,并指出协方差的局限性,从而产 生了相关系数的概念,重点阐述相关系数的本质即只表示两个变量之间的线性关系而不是反映所有关系。 最后引入矩与协方差矩阵这个概念。由于这两个概念在数理统计中的重要地位,必须加以深刻讲解。教学 辅助软件在这一章中有许多可以借鉴的内容。 教学手段:多媒体教学(电子教案,投影及粉笔、黑板的有机结合) 教学时数:6学时 §41数学期望 教学内容: 1.离散型随机变量X数学期望的定义 定义4.1.1设离散型随机变量X的分布律为 X PI Pn 若级数∑xP绝对收敛,则称∑xP2的值为随机变量X的数学期望或均值,记作E(X)或EX。即 k=1 E(X)=∑xP4 2.连续型随机变量X数学期望的定义: 定义41.2设连续型随机变量X的概率密度为∫(x),如果积分 f(x)dx 绝对收敛,则称其为X的数学期望(或均值),记为E(X),即 E(X)=yf(x)x 3.一维随机变量函数数学期望的简洁求法 定理411设g(x)为连续函数若X为离散型随机变量分布律为: xI 则Y=g(X)的数学期望为

- 1 - 第四章 随机变量的数字特征 教学目的：了解随机变量数字特征这个概念引入的必要性，掌握如下数字特征的定义：数学期望，方差， 协方差，矩，相关系数。知道各种数字特征所表达的实际意义，了解它们之间的联系与区别，各自的使用 范围与领域。掌握协方差矩阵，并了解其在多元统计分析中的重要地位。 教学方法：课堂讲授与软件演示相结合。首先通过身边例子引入数学期望这个基本概念，然后讲解其四条 基本性质，并且介绍随机变量函数数学期望的简洁求法。紧接着引入另一个重要的概念，即方差，介绍方 差的常用简洁计算方法及其四条性质。其次，重点讲解常用随机变量的数学期望与方差的计算方法，方法 本身可不做过多介绍，但是结果一定要强调。再者，引入协方差的概念，并指出协方差的局限性，从而产 生了相关系数的概念，重点阐述相关系数的本质即只表示两个变量之间的线性关系而不是反映所有关系。 最后引入矩与协方差矩阵这个概念。由于这两个概念在数理统计中的重要地位，必须加以深刻讲解。教学 辅助软件在这一章中有许多可以借鉴的内容。 教学手段：多媒体教学（电子教案，投影及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：6 学时 §4.1 数学期望 教学内容： 1. 离散型随机变量 X 数学期望的定义： 定义 4.1.1 设离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 x 2 x … n x … k p 1 p 2 p … n p … 若级数 k k xk p  =1 绝对收敛，则称 k k xk p  =1 的值为随机变量 X 的数学期望或均值，记作 E(X) 或 EX 。即 k k E X xk p  = = 1 ( ) 2. 连续型随机变量 X 数学期望的定义： 定义 4.1.2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ，如果积分  + − xf (x)dx 绝对收敛，则称其为 X 的数学期望（或均值），记为 E(X) ，即  + − E(X) = xf (x)dx 3. 一维随机变量函数数学期望的简洁求法： 定理 4.1.1 设 g(x) 为连续函数,若 X 为离散型随机变量,分布律为： X 1 x 2 x … n x … k p 1 p 2 p … n p … 则 Y = g(X ) 的数学期望为

E()=E(X=∑8(x)P4 (4.1.3) 若X为连续性随机变量,概率密度为f(x),则Y=g(X)的数学期望为 E(Y)=El(x)]=g(x)f(x)cx (4.1.4) 该定理说明,在求相对复杂的随机变量Y=g(X)的数学期望E(Y)时,不一定要求Y的分布,而只要知 道相对简单的随机变量X的分布即可 4.二维随机变量函数数学期望的简洁求法 定理41.2设Z是随机变量XY的函数:z=8(X,Y),(g是连续函数)。若(X,Y)是二维离散型随 机变量,分布律为: P{X=x,y=y}=P,(,j=12,) E(2)=Eg(x,=∑∑g,y) (4.1.5) 若(X,Y)是连续型随机变量,概率密度为f(x,y),则 E(2)=Eg(x,)=8x,y(x,ydb(411) 5.数学期望的性质 (1)(1)设c是常数,则有E()=c (2)设X是一个随机变量,c是常数,则有E(cx)=cE(X) (3)设X,y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(x)+E() (4)设Xy是相互独立的随机变量,则有E(xY)=E(x)E(y) 教学形式:首先通过例子引入数学期望的概念及其意义,其次分离散型与连续型随机变量两种情形分别讨 论其确切的数学定义。在此基础上,分别讲述一维与二维随机变量函数数学期望的简洁求法,最后引入数 学期望的性质,在讲这些性质时,要理论联系实际,必要时辅之以软件教学,以帮助同学们深刻理解。其 间要有意识地引导学生认识到数学期望并不能反映随机变量的另外一些重要特征。 §42方差 教学内容: 1.随机变量X方差的定义: 定义421设x是一个随机变量,若E{x-E(x)存在,则称Ex-E(x)为x的方差,记为DOxX) 或DX。即 D(X)=EX-E(rP 2.标准差的概念: 而o(x)=√D(x)(与X有相同的量纲)称为标准差或均方差。 3.随机变量X方差的具体定义 若X为离散型随机变量 P{x=k}=p(k=12,…),则

- 2 -  ( )   = = = 1 ( ) ( ) k k pk E Y E g X g x (4.1.3) 若 X 为连续性随机变量，概率密度为 f (x) ，则 Y = g(X ) 的数学期望为  ( )   − E(Y) = E g X = g(x) f (x)dx (4.1.4) 该定理说明，在求相对复杂的随机变量 Y = g(X ) 的数学期望 E(Y) 时，不一定要求 Y 的分布，而只要知 道相对简单的随机变量 X 的分布即可。 4. 二维随机变量函数数学期望的简洁求法： 定理 4.1.2 设 Z 是随机变量 X,Y 的函数： Z = g(X,Y) ，（ g 是连续函数）。若 (X,Y) 是二维离散型随 机变量，分布律为： PX = x ,Y = y = p , (i, j =1,2，) i i ij 则有 ( )  ( ) ( ) ij i j E Z E g X Y g xi y j p  =  = = = 1 1 , , (4.1.5) 若 (X,Y) 是连续型随机变量，概率密度为 f (x, y) ，则 E( ) Eg(X,Y) g(x, y)f (x, y)dxdy   + − + −  = = (4.1.6) 5. 数学期望的性质： （1）(1)设 c 是常数，则有 E(c) = c （2）设 X 是一个随机变量， c 是常数，则有 E(cX ) = cE(X ) （3）设 X,Y 是两个随机变量，则有 E(X + Y ) = E(X )+ E(Y ) （4）设 X,Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X )E(Y ) 教学形式：首先通过例子引入数学期望的概念及其意义，其次分离散型与连续型随机变量两种情形分别讨 论其确切的数学定义。在此基础上，分别讲述一维与二维随机变量函数数学期望的简洁求法，最后引入数 学期望的性质，在讲这些性质时，要理论联系实际，必要时辅之以软件教学，以帮助同学们深刻理解。其 间要有意识地引导学生认识到数学期望并不能反映随机变量的另外一些重要特征。 §4.2 方差 教学内容： 1. 随机变量 X 方差的定义： 定义 4.2.1 设 X 是一个随机变量，若  ( )  2 E X − E X 存在，则称  ( )  2 E X − E X 为 X 的方差，记为 D(X) 或 DX 。即  ( )  2 D(X) = E X − E X 2. 标准差的概念： 而  (X ) = D(X ) （与 X 有相同的量纲）称为标准差或均方差。 3. 随机变量 X 方差的具体定义： 若 X 为离散型随机变量： PX = k= p (k = 1,2, ) k ，则

D(x)=∑[4-E(x)P (4.2.1) 若X为连续型随机变量,概率密度为∫(x),则 D(x)=E-E(x)'rexkdr (4.2.2) 4.方差的意义 方差刻画了随机变量围绕其“平均数”的离散程度 5.方差的几个重要性质(设以下各个方差均存在) )设c是常数,则D(c)=0 (2)设X是随机变量,c是常数,则有D(cX)=c2D(X (3)设X,F是两个相互独立的随机变量,则D(x+y)=D(X)+D() (4)D(x)=0的充要条件是X以概率为1取常数值c,即P{x=c}=1,其中E(X)=c 6.3法则 关于X~N(x,a2),我们指出三个重要数据 P{- osAS+a}=d()-(-1)=2)-1=06826 P{-2a≤X≤+2o}=(2)-(-2)=2(2)-1=09544 P{x-3o≤X≤+3}=(3)-(3)=2(3)-1=0.9974 最后这个式子说明,x的值落在[-30,4+3]上的概率几乎为1,这一事实称为“3法则” 教学形式:在说明数学期望不足的基础上引入方差的概念,同时说明标准差与方差在实际意义上的区别以 及它们各自的含义。重点讲解方差的几个重要性质,将这些性质与现实生活结合起来说明,以增进同学们 的实际感受及对方差本质的进一步认识。最后向同学们介绍30法则,由于该法则在理论研究中具有较重 要意义,可加以重点强调 §43协方差及相关系数 教学内容: 1.协方差的定义: 定义43.1E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量X,Y的协方差,记作CO(X,Y),即 COV(X, Y=EICX-E(X)CY-E()I 2.协方差的常用计算公式 COV(X, Y)=E(XY-E(XE(Y) 3.协方差的性质 (1)COV(X, Y)=COv(Y, X) (2)COr(aX,bY)=abCO(x,Y)(ab是常数) (3)COV(X,+X2, r)=COV(Y,, r)+COv (x2, r) 4.相关系数的定义: 定义4.3.2pxy= COV(Y,Y 称为随机变量X和y的相关系数 D(X)D(r 5.不相关的定义: 定义43.3若pxy=0,则称X与Y不相关 6.相关系数的重要性质: 定理43.1设px是随机变量X与Y的相关系数,则有

- 3 - ( )  ( ) k k D X  xk E X p  = = − 1 2 (4.2.1) 若 X 为连续型随机变量，概率密度为 f (x) ，则 D(X ) x E(X ) f (x)dx 2  + − = − (4.2.2) 4. 方差的意义： 方差刻画了随机变量围绕其“平均数”的离散程度。 5. 方差的几个重要性质（设以下各个方差均存在）： （1）设 c 是常数，则 D(c) = 0 （2）设 X 是随机变量， c 是常数，则有 D cX c D(X) 2 （ ）= （3）设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，则 D(X + Y ) = D(X )+ D(Y ) （4） D(X ) = 0 的充要条件是 X 以概率为 1 取常数值 c ，即 PX = c = 1, 其中 E(X ) = c 6. 3 法则 关于 ( ) 2 X ~ N , ，我们指出三个重要数据：   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )  3 3  (3) ( 3) 2 (3) 1 0.9974 2 2 2 2 2 2 1 0.9544 1 1 2 1 1 0.6826 −   + =  −  − =  − = −   + =  −  − =  − = −   + =  −  − =  − =             P X P X P X 最后这个式子说明， X 的值落在  − 3, + 3  上的概率几乎为 1，这一事实称为“ 3 法则”。 教学形式：在说明数学期望不足的基础上引入方差的概念，同时说明标准差与方差在实际意义上的区别以 及它们各自的含义。重点讲解方差的几个重要性质，将这些性质与现实生活结合起来说明，以增进同学们 的实际感受及对方差本质的进一步认识。最后向同学们介绍 3 法则，由于该法则在理论研究中具有较重 要意义，可加以重点强调。 §4.3 协方差及相关系数 教学内容： 1. 协方差的定义： 定义 4.3.1 E[(X − E(X))(Y − E(Y))] 称为随机变量 X,Y 的协方差，记作 COV(X，Y) ，即 COV(X，Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))] 2. 协方差的常用计算公式： COV(X，Y) = E(XY) − E(X)E(Y) 3. 协方差的性质： （1） COV (X,Y) = COV (Y, X) （2） COV (aX,bY) = abCOV (X,Y) ( a,b 是常数) （3） COV (X X ,Y ) COV (X ,Y ) COV (X ,Y ) 1 + 2 = 1 + 2 4. 相关系数的定义： 定义 4.3.2 ( ) D(X ) D(Y ) COV X Y XY ,  = 称为随机变量 X 和 Y 的相关系数。 5. 不相关的定义： 定义 4.3.3 若  XY = 0 ，则称 X 与 Y 不相关。 6. 相关系数的重要性质： 定理 4.3.1 设  XY 是随机变量 X 与 Y 的相关系数，则有

(2)|oa|=1充要条件为P=ax+b}=1(a,b为常数 且a≠0) 7.相关系数的补充说明: 相关系数刻画的只是随机变量之间线性相关的程度。 教学形式:从一个随机变量方差的概念过渡到两个随机变量协方差的概念,指明协方差的含义及其优缺点 给出协方差的常用计算公式,推导协方差的三条重要性质。由于协方差本身的缺陷,我们再引入相关系数 的概念,并证明相关系数的两条重要性质。重点对相关系数的含义加以阐述,包括相关系数绝对值大小的 含义,正负号的含义及其只表示两个变量线性关系的事实。最后指出不相关与独立之间的关系 §44矩、协方差矩阵 教学内容: 1.各种矩的定义: 定义44.1设X和Y是随机变量,若E(x*),k=12,…存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩。 若E[x-E(x}k=12,…存在,则称它为x的k阶中心矩 若EXy),k,=1,2,…存在,则称它为x和Y的k+1阶混合原点矩 若E{x-E/p-EO)k1=12…存在,则称它为X和y的k+阶混合中心矩 2.二维随机变量协方差矩阵的定义: 对于二维随机变量(x12X2)而言,若它们的四个二阶中心矩 c=CO(x,X)i,j=12都存在 则称(12为(x,x)的协方差矩阵 3.n维随机变量协方差矩阵的定义: 设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的二阶混合中心矩 c=CO(xx)=E[x-E(x)x-E(X那(,=12…,n) 都存在,则称 为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵 4.二维正态分布随机变量密度函数的矩阵表示: 维正态分布随机变量(X1,x2)的概率密度可用矩阵表示为

- 4 - （1）  XY  1 （2）  XY = 1 充要条件为 PY = aX + b=1,(a,b为常数, 且a  0) 7. 相关系数的补充说明： 相关系数刻画的只是随机变量之间线性相关的程度。 教学形式：从一个随机变量方差的概念过渡到两个随机变量协方差的概念，指明协方差的含义及其优缺点。 给出协方差的常用计算公式，推导协方差的三条重要性质。由于协方差本身的缺陷，我们再引入相关系数 的概念，并证明相关系数的两条重要性质。重点对相关系数的含义加以阐述，包括相关系数绝对值大小的 含义，正负号的含义及其只表示两个变量线性关系的事实。最后指出不相关与独立之间的关系。 §4.4 矩、协方差矩阵 教学内容： 1. 各种矩的定义： 定义 4.4.1 设 X 和 Y 是随机变量，若 E(X k ) ,k =1,2,  存在，则称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。 若 EX − E(X) ,k =1,2, k 存在，则称它为 X 的 k 阶中心矩。 若 E(Xk Y l ) ,k,l =1,2, 存在，则称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合原点矩。 若 EX − E(X) Y − E(Y) ,k,l =1,2, k l 存在，则称它为 X 和 Y 的 k + l 阶混合中心矩。 2. 二维随机变量协方差矩阵的定义： 对于二维随机变量 ( , ) X1 X2 而言，若它们的四个二阶中心矩 cij =COV(Xi , X j )，i，j =1，2 都存在 则称         21 22 11 12 c c c c 为 ( , ) X1 X2 的协方差矩阵。 3. n 维随机变量协方差矩阵的定义： 设 n 维随机变量 ( , , , ) X1 X 2  X n 的二阶混合中心矩 c COV(X ,X ) EX E(X )X E(X ),(i, j 1, 2, , n) ij = i j = i − i j − j =  都存在，则称               = n n nn n n c c c c c c c c c C        1 2 21 22 2 11 12 1 为 n 维随机变量 ( ) X X Xn , , , 1 2  的协方差矩阵。 4. 二维正态分布随机变量密度函数的矩阵表示： 二维正态分布随机变量 ( ) 1 2 X , X 的概率密度可用矩阵表示为

f(x,x2)= (x-u)C-(x- 其中C= po,O2 5.多维正态分布随机变量密度函数的矩阵表示: n维正态随机变量(x1X2…xn)的概率密度定义为 (2x)下 其中C为(X1,X2…,Xn)的协方差矩阵 教学形式:由于矩和协方差是大样本推断的重要工具,所以本节在概率论与数理统计的过渡中起着重要的 作用,首先引入各种矩的概念,紧接着介绍协方差矩阵,从二维入手推广到多维,最后利用协方差矩阵这 个有力工具将多元正态随机变量的密度函数用矩阵的形式表示出来。本节的核心在于协方差矩阵的讲解 §4.5条件期望 教学内容: 1.各种条件期望的定义: 般地,设(X,)为二维离散型随机变量,在X=x的条件下Y的条件分布律为P{|X=x;},则称 ∑ypy=y,|X=x 为在X=x,的条件下,Y的条件期望。记为E(Y|X=x,) 同理称E(x|y=y)=∑xP{x=xY=}为在y=y条件下关于X的条件期望。 类似地,设二维连续型随机变量(X,Y)在x=x的条件下y的条件概率密度为fn(yx),则称 E(YIX=x)=Mru(XxY 为在X=x的条件下关于Y的条件期望 同理称E(X|Y=y)=m()y为在y=y的条件下关于X的条件期望 教学形式:本节的内容是数学期望概念的直接推广,难度并不是特别大,在讲授这些概念时可以通过二维 离散型随机变量为例引入,以此为基础推广到二维连续型随机变量上

- 5 - ( ) ( ) ( ) ( )       −  = − − −    X C X C f x x 1 2 1 2 2 1 2 2 1 exp 2 1 , 其中         =        = 2 1 2 2 1 2 2 1 21 22 11 12       c c c c C 5. 多维正态分布随机变量密度函数的矩阵表示： n 维正态随机变量 ( ) X X Xn , , 1 2 的概率密度定义为 ( ) ( ) ( ) ( )       −  = − − −    X C X C f x x x n n 1 2 1 2 1 2 2 1 exp 2 1 , ,, 其中 C 为 ( ) X X Xn , , , 1 2  的协方差矩阵。 教学形式：由于矩和协方差是大样本推断的重要工具，所以本节在概率论与数理统计的过渡中起着重要的 作用，首先引入各种矩的概念，紧接着介绍协方差矩阵，从二维入手推广到多维，最后利用协方差矩阵这 个有力工具将多元正态随机变量的密度函数用矩阵的形式表示出来。本节的核心在于协方差矩阵的讲解。 §4.5 条件期望 教学内容： 1. 各种条件期望的定义： 一般地，设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，在 i X = x 的条件下 Y 的条件分布律为 PY | X = xi ，则称  j i j j y P Y = y X = x  = | 1 为在 i X = x 的条件下,Y 的条件期望。记为 ( )i E Y | X = x 。 同理称 ( )     = = = = = 1 | | i j i i j E X Y y x P X x Y y 为在 j Y = y 条件下关于 X 的条件期望。 类似地,设二维连续型随机变量 (X,Y) 在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度为 ( | ) | f y x Y X ，则称 E(Y X x) yf y x dy  Y X + − | = = ( | ) | 为在 X = x 的条件下关于 Y 的条件期望。 同理,称 E(X Y y) xf x y dx  X Y + − | = = ( | ) | 为在 Y = y 的条件下关于 X 的条件期望 教学形式：本节的内容是数学期望概念的直接推广，难度并不是特别大，在讲授这些概念时可以通过二维 离散型随机变量为例引入，以此为基础推广到二维连续型随机变量上