§3正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定
一、正定二次型的概念 二、 正定二次型的判定 §3 正定二次型
正定二次型的概念 次型的标准形显然不是唯一的,只是在标准形 中所含的非零项的个数是确定的(即是二次型的秩) 不仅如此,如果限制变换为实满秩线性变换,那么标 准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也 不变).也就是有 定理83设有实二次型f=xAx,它的秩为 F,分别作两个实的满秩线性变换 得=k1y2+k2y2+…+k,y2(k≠0)
一、正定二次型的概念 二次型的标准形显然不是唯一的，只是在标准形 中所含的非零项的个数是确定的（即是二次型的秩）， 不仅如此，如果限制变换为实满秩线性变换，那么标 准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变)．也就是有 定理8.3 设有实二次型 f x Ax T = ，它的秩为 r ，分别作两个实的满秩线性变换 x = C1 y 与 x z = C2 得 ( 0) 2 2 2 2 2 f = k1 y1 + k y ++ kr yr ki
及f=l1=2+l2=2+…+l2=2(l1≠0) 那么k,k2…k,中正数的个数与A1 中正数的个数相等 这个定理称为惯性定理,它的证明从略 应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正 (r=n)或全为负的二次型,它的定义叙述如下 定义83设有实二次型f(x12x2,…,xn)=xAx, 如果对于任意一组不全为零的实数x=c12x2= 都有G1c2…cn)>0,那么f(x,x2…x)称为正定二次型
及 ( 0) 2 2 2 2 2 f = l 1 z1 + l z ++ l r zr l i 那么 r k ,k , ,k 1 2 中正数的个数与 r , , , 1 2 中正数的个数相等． 这个定理称为惯性定理，它的证明从略． 应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正 (r = n) 或全为负的二次型，它的定义叙述如下． 定义8.3 设有实二次型 f x x x x Ax T ( 1 , 2 , , n ) = 如果对于任意一组不全为零的实数 ， n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为正定二次型
它的矩阵A称为正定矩阵;如果对于任意一组不 全为零的实数x1=C1,x2=C3,…xn=Cn,都有 f(c12c2…;cn)<0,那么f(x1,x2,…,x)称为 负定二次型,它的矩阵称为负定矩阵
它的矩阵 A 称为正定矩阵;如果对于任意一组不 全为零的实数 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 3 ，都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 负定二次型，它的矩阵称为负定矩阵． 称为
正定二次型的判定 定理84实二次型f(x1,x2…;x)=x4x为正定的 必要条件是 an>0(i=1,2,…,m),其中A=(an 证因为f(x,x2…,xn)=x4x是正定二次型,所 以对于任意一组不全为零的实数 x1=C1 都有(cG1C2,…,cn)>0
二、 正定二次型的判定 定理8.4 实二次型 ，其中 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 必要条件是 为正定的 a 0 (i 1,2, ,n) ii = ( ) ij A = a 证 因为 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 以对于任意一组不全为零的实数 是正定二次型，所 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0