§2相似矩阵与矩阵的对角化 一、矩阵相似的概念与性质 二、矩阵的相似对角化
§2 相似矩阵与矩阵的对角化 一、矩阵相似的概念与性质 二、矩阵的相似对角化
矩阵相似的概念与性质 定义62设A、B都是n阶矩阵.如果存在n阶可 逆矩阵C,使CAC=B,那么称矩阵A与矩阵B相似 可逆矩阵C称为相似变换矩阵 相似是矩阵之间的一种关系,容易验证矩阵的相似 关系是一种等价关系 相似矩阵还具有下列性质 性质1相似矩阵的行列式相等 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC
一、矩阵相似的概念与性质 定义6.2 设 A 、 B 都是 n 阶矩阵．如果存在 n 阶可 逆矩阵 C ，使 C AC = B −1 ，那么称矩阵 A 与矩阵 B 相似. 可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵． 相似是矩阵之间的一种关系，容易验证矩阵的相似 关系是一种等价关系. 相似矩阵还具有下列性质． 性质１ 相似矩阵的行列式相等． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − =
两边同时取行列式,得 B=CAC=C- AC=C-CAHCCA/A114) 证毕 性质2如果两个可逆的矩阵相似,那么它们 的逆矩阵也相似 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC 由此可得B=C-AC 所以A与B相似且相似变换阵仍为C 证毕
两边同时取行列式，得 B = C AC = C A C = C C A = C C A = I A = A − − − − | || || | | || | | || | 1 1 1 1 证毕. 性质２ 如果两个可逆的矩阵相似，那么它们 的逆矩阵也相似． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 由此可得 . 1 B C AC − = 所以 −1 −1 A 与B 相似且相似变换阵仍为 C. 证毕
性质3设A与B相似,那么kA与B似,Am与Bm 相似(其中k为任意数,m为任意的正整数) 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=C AC 故得kB=C(AC x B=(C-Ac=(C-lACC-1AC)(C-lAC)=C-A"C 因此kA与B相似,Am与B"相似 证毕 性质4设A与B相似,f(x)为一多项式,则 f(4)与(B)相似 证设f(x)=a0+ax+…+anxm
性质３ 设 A与B 相似，那么 kA与kB 相似， m m A 与B 相似（其中 k 为任意数， m 为任意的正整数）． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 故得 ( ) . 1 kB C kAC − = 及 ( ) ( )( ) ( ) . 1 1 1 1 1 B C AC C AC C AC C AC C A C m − m − − − − m = = = 因此 kA与kB 相似， m m A 与B 相似. 证毕 性质4 设 A与B 相似， f (x) 为一多项式，则 f (A)与f (B) 相似. 证 设 ( ) . 0 1 m m f x = a + a x ++ a x
因A与B相似,那么存在可逆矩阵C,使 B=CAC 因此f(B)=an1+a1B+…+anBm a+a1(CAC)+…+an(C1Cy (a1C+C(a14C+…+C-(n4 1+a1A+…+anA 即(4)与f(B)相似 证毕 性质5相似矩阵具有相同的特征多项式,因而具 有相同的特征值
因 A与B 相似，那么存在可逆矩阵 C ，使 . 1 B C AC − = 因此 ( ) m f B = a0 I + a1 B ++ am B ( ) ( ) m a I a C AC am C AC 1 1 0 1 − − = + ++ C (a I)C C (a A)C C (a A )C m m 1 1 1 0 −1 − − = + ++ C (a I a A a A )C m = + + + m −1 0 1 即 f (A)与f (B) 相似. 证毕. 性质5 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具 有相同的特征值