第二章随机变量及其分布 教学目的:了解引入随机变量的原因,离散型与连续型随机变量的定义。重点掌握几种重要的离散型与连 续型随机变量,包括(0-1)分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布。理解正态分布 在现实生活中的普遍性。理解并掌握随机变量函数的分布的具体解法。 教学方法:课堂讲授与软件演示相结合。首先讲述随机变量引入的必要性以及给研究带来的方便性,其次 介绍较简单的离散型随机变量,通过其学习,同学们对随机变量有了一个大概的了解,从而引入随机变量 分布函数的概念,进而为连续型随机变量的引入奠定了基础。重点介绍几种重要的连续型随机变量的分布 密度及其应用范围及实际意义。最后软件演示的方式引入随机变量函数的具体求法 教学手段:多媒体教学(电子教案,投影及粉笔、黑板的有机结合) 教学时数:6学时 §21随机变量 教学内容 1.随机变量定义: 定义2.L.1设随机试验E的样本空间=(e},如果对于每一个e∈S有实数X(e)和它对应,这样就得到 个定义在g上的实值单值函数X(e),称X(e)为随机变量。 2.随机变量引入给我们研究带来的便利性 教学形式:通过实际例子说明引入随机变量具有可行性,同时也展示随机变量给我们带来研究问题的便利 §22离散型随机变量及其分布 教学内容: 1.离散型随机变量定义: 定义2.2.1若随机变量X所有可能的取值是有限个或无限可列个,则称X为高散型随机变量。 2.二项分布 若随机变量X的概率分布为 P{X=k}=Cp3q”,k (2.2.6) 其中0<p<1,q=1-p 则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~B(n,p) 3.超几何分布 设一堆同类产品共N个,其中有M个不合格品。现从中任取n个(假定n<N-M),则这n个产品中所含 的不合格品数X是一个离散型随机变量。X的概率分布如下
1 第二章 随机变量及其分布 教学目的：了解引入随机变量的原因，离散型与连续型随机变量的定义。重点掌握几种重要的离散型与连 续型随机变量，包括（0-1）分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布，正态分布。理解正态分布 在现实生活中的普遍性。理解并掌握随机变量函数的分布的具体解法。 教学方法：课堂讲授与软件演示相结合。首先讲述随机变量引入的必要性以及给研究带来的方便性，其次 介绍较简单的离散型随机变量，通过其学习，同学们对随机变量有了一个大概的了解，从而引入随机变量 分布函数的概念，进而为连续型随机变量的引入奠定了基础。重点介绍几种重要的连续型随机变量的分布 密度及其应用范围及实际意义。最后软件演示的方式引入随机变量函数的具体求法。 教学手段：多媒体教学（电子教案，投影及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：6 学时 §2.1 随机变量 教学内容： 1. 随机变量定义： 定义 2.1.1 设随机试验 E 的样本空间 = e,如果对于每一个 e S 有实数 X(e) 和它对应，这样就得到一 个定义在 上的实值单值函数 X(e) ，称 X(e) 为随机变量。 2. 随机变量引入给我们研究带来的便利性。 教学形式：通过实际例子说明引入随机变量具有可行性，同时也展示随机变量给我们带来研究问题的便利。 §2.2 离散型随机变量及其分布 教学内容： 1. 离散型随机变量定义： 定义 2.2.1 若随机变量 X 所有可能的取值是有限个或无限可列个，则称 X 为离散型随机变量。 2. 二项分布 若随机变量 X 的概率分布为 PX k C p q , k 0,1,2, , n, k k n k = = n − = （2.2.6） 其中0 p 1, q =1 − p 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布。记作 X ~ B(n, p) 3. 超几何分布 设一堆同类产品共 N 个，其中有 M 个不合格品。现从中任取 n 个（假定 n N − M ），则这 n 个产品中所含 的不合格品数 X 是一个离散型随机变量。 X 的概率分布如下：
P(X=m=A (m=0,1,2,…,D) (2.2.7) 这里l=min(M,n)。这个概率分布称为超几何分布。 4.泊松分布 若随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为 P(X=k= h,k=0,1,2, (22.9) 其中λ>0是常数,则称X服从参数为A的泊松分布,记为x~x(A) 5.几何分布 若随机变量X的概率分布为 P{X=k}=qp(k=12…,q=1-p) (22.11) 则称X服从几何分布。 教学形式:首先引入离散型随机变量的概念,并介绍分布律需要满足的两个条件,其次重点介绍二项分布, 超几何分布,泊松分布与几何分布。在讲二项分布时要指出当只做一次试验时的特殊的随机变量的分布是 二点分布。最后指出超几何分布的极限分布是二项分布。如果时间富裕,则将泊松定理加以详细介绍,否 则,仅仅给出结论就可 §23随机变量的分布函数 教学内容: 1.随机变量分布函数的定义: 定义23.1设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=PX≤x}称为x的分布函数 2.分布函数F(x)具有以下基本性质 (1)F(x)是一个不减函数, (2)0≤F(x)≤1,且 F(-∞)=limF(x)=0 F(+∞)=lmF(x)=1 (3)F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。 教学形式:首先阐述随机变量分布函数的定义并解释引入这个概念的缘由,其次引入随机变量分布函数的 条基本性质,对性质二只加以几何意义上的解释,性质三也不加以证明。本节课的重点要通过几个例子 分别强调这三条性质的具体含义及其实际应用时候应该注意的问题。 §24连续型随机变量及其分布 教学内容: 1.连续型随机变量及其密度函数的定义: 定义241设X是随机变量,F(x)是X的分布函数。若存在一个非负函数f(x),使对任意实数x, 有
2 (m 0,1,2, ,l) C C C P X m n N n m N M m = = M = − − (2.2.7) 这里 l = min(M,n) 。这个概率分布称为超几何分布。 4. 泊松分布 若随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2, ，而取各个值的概率为 , 0,1,2, ! = = = − k k e P X k k (2.2.9) 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ()。 5. 几何分布 若随机变量 X 的概率分布为 ( 1,2, , 1 ) 1 P X k q p k q p k = = = = − − (2.2.11) 则称 X 服从几何分布。 教学形式：首先引入离散型随机变量的概念，并介绍分布律需要满足的两个条件，其次重点介绍二项分布， 超几何分布，泊松分布与几何分布。在讲二项分布时要指出当只做一次试验时的特殊的随机变量的分布是 二点分布。最后指出超几何分布的极限分布是二项分布。如果时间富裕，则将泊松定理加以详细介绍，否 则，仅仅给出结论就可。 §2.3 随机变量的分布函数 教学内容： 1. 随机变量分布函数的定义： 定义 2.3.1 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，函数 F(x) = P{X x} 称为 X 的分布函数。 2. 分布函数 F(x) 具有以下基本性质： （1） F(x) 是一个不减函数， （2） 0 F(x) 1 ，且 ( ) lim ( ) 1 ( ) lim ( ) 0 + = = − = = →+ →− F F x F F x x x （3） F(x + 0) = F(x) ,即 F(x) 是右连续的。 教学形式：首先阐述随机变量分布函数的定义并解释引入这个概念的缘由，其次引入随机变量分布函数的 三条基本性质，对性质二只加以几何意义上的解释，性质三也不加以证明。本节课的重点要通过几个例子 分别强调这三条性质的具体含义及其实际应用时候应该注意的问题。 §2.4 连续型随机变量及其分布 教学内容： 1. 连续型随机变量及其密度函数的定义： 定义 2.4.1 设 X 是随机变量, F(x) 是 X 的分布函数。若存在一个非负函数 f (x) ，使对任意实数 x ， 有
F()=Lf( (2.4.1) 则称X为连续型随机变量,∫(x)称为X的概率密度函数,简称密度或概率密度。 2.连续型随机变量的概率密度函数具有以下性质: (1)f(x)≥0-∞<x<+0 (2)f(x)dx=1 (3)Px<X5x}=F(x2)-F(x)=(xk(x<x) 4)若f(x)在点x处连续,则有F(x)=f(x) 3.几种重要的连续型随机变量 (1).均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度 fx)=b-a (244) 0,其它 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布 (2).指数分布 如果随机变量X的概率密度函数 (2.46) 其中>0为常数,则称X服从参数为A的指数分布,记为x~P(2) (3).正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)= (2.4.8) 其中a(>0)为常数,则称X服从参数为,a2的正态分布,记作X~No3) (4).正态分布的随机变量的概率密度函数具有以下性质: (a)曲线(xa2)关于直线x=对称。这说明对于任意h>0,有 -h<X≤=P{<X≤+h (b)当x=时取到最大值,f(x)= 当x离μ越远,∫(x)的值越小,这表明对于同样长度的区间,当区间离μ越远,X落在这个区间的概率越 小。在x=4±σ处曲线有拐点,Ox轴为渐近线。 (c)若固定a,改变p的值,则图形沿着OX平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密度曲线 的位置完全由参数μ所确定,称为位置参数
3 ( ) − = x F x f (t)dt (2.4.1) 则称 X 为连续型随机变量， f (x) 称为 X 的概率密度函数，简称密度或概率密度。 2. 连续型随机变量的概率密度函数具有以下性质： （1） f (x) 0 − x + （2） + − f (x)dx =1 （3） { } ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 1 P x X x F x F x f x dx x x x x = − = （4）若 f (x) 在点 x 处连续,则有 F(x) = f (x) 3. 几种重要的连续型随机变量： （1）．均匀分布 设连续型随机变量 X 具有概率密度 ( ) = − 0, 其它 , 1 a x b f x b a (2.4.4) 则称 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布 （2）．指数分布 如果随机变量 X 的概率密度函数 ( ) = − 0, 0 , 0 x e x f x x (2.4.6) 其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布,记为 X ~ P()。 （3）．正态分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ( ) ( ) = − + − − f x e x x 2 2 2 2 1 (2.4.8) 其中 ,( 0) 为常数，则称 X 服从参数为 2 , 的正态分布，记作 ( ) 2 X ~ N , 。 （4）．正态分布的随机变量的概率密度函数具有以下性质： （a）曲线 ( ) 2 f x;, 关于直线 x = 对称。这说明对于任意 h 0 ，有 P − h X = P X + h （b）当 x = 时取到最大值， ( ) 2 1 f = 当 x 离 越远， f (x) 的值越小，这表明对于同样长度的区间，当区间离 越远， X 落在这个区间的概率越 小。在 x = 处曲线有拐点， Ox 轴为渐近线。 （c）若固定 ，改变 的值，则图形沿着 OX 平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线 的位置完全由参数 所确定， 称为位置参数
(d)若固定,改变a,由最大值f()=-可知,当a越小时图形变得越尖,因而x落在附 近的概率越大。 (5)标准正态分布 标准正态分布随机变量的概率密度和分布函数分别用(x)x)表示,即有 d(x)= e2-0<x<+∞ d t -∞<X<+00 4.正态随机变量的标准化 般地,若X~N({,a2),则只需通过一个线性变换就能将它化为标准正态分布。即 若X~N(以a2),则Z X-~N(01) 教学形式:首先引入连续型随机变量的定义及连续型随机变量密度函数的定义,其次介绍连续型随机变量 密度函数的四条性质,接着介绍几种重要的连续型随机变量,其中重点介绍服从正态分布的随机变量,包 括正态随机变量密度函数的四条重要性质,并且强调正态随机变量的标准化。对于每种分布,不仅介绍其 密度函数,还要介绍分布函数。由于本节内容相当多,所以要多做联系,并且完全可以借助教学辅助软件 进行。 §25随机变量函数的分布 教学内容 1.随机变量的函数的定义 以随机变量X为自变量的函数Y=g(x)称为随机变量的函数,它还是一个随机变量 2.本节举例说明怎么从X的分布函数来导出Y=g(x)的分布 教学形式:本节要强调欲求随机变量函数的分布的出发点是先写出该随机变量的分布函数,然后计算并将 结果求导即可得到其概率密度,其核心内容是新随机变量的分布函数可以通过已知的随机变量求出。本节 可以分为离散型与连续型随机变量函数两种情况分别讨论
4 （d）若固定 ，改变 ，由最大值 ( ) 2 1 f = 可知，当 越小时图形变得越尖，因而 X 落在 附 近的概率越大。 （5）.标准正态分布 标准正态分布随机变量的概率密度和分布函数分别用 (x),(x) 表示，即有 ( ) = − + − x e x x , 2 1 2 2 ( ) = − + − − x e dt x x t , 2 1 2 2 4. 正态随机变量的标准化 一般地，若 ~ ( , ) 2 X N ，则只需通过一个线性变换就能将它化为标准正态分布。即 若 ~ ( , ) 2 X N ，则 ~ N(0,1) X Z − = 教学形式：首先引入连续型随机变量的定义及连续型随机变量密度函数的定义，其次介绍连续型随机变量 密度函数的四条性质，接着介绍几种重要的连续型随机变量，其中重点介绍服从正态分布的随机变量，包 括正态随机变量密度函数的四条重要性质，并且强调正态随机变量的标准化。对于每种分布，不仅介绍其 密度函数，还要介绍分布函数。由于本节内容相当多，所以要多做联系，并且完全可以借助教学辅助软件 进行。 §2.5 随机变量函数的分布 教学内容： 1. 随机变量的函数的定义： 以随机变量 X 为自变量的函数 Y = g(X ) 称为随机变量的函数，它还是一个随机变量。 2. 本节举例说明怎么从 X 的分布函数来导出 Y = g(X ) 的分布。 教学形式：本节要强调欲求随机变量函数的分布的出发点是先写出该随机变量的分布函数，然后计算并将 结果求导即可得到其概率密度，其核心内容是新随机变量的分布函数可以通过已知的随机变量求出。本节 可以分为离散型与连续型随机变量函数两种情况分别讨论