成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第六章 特征值与特征向量（6.1）特征值与特征向量

22k 0 用类似的方法,可得 ∑kx1=0 把以上各式合写成矩阵形式,得 kx1,k,X,…,k

 x = 0 = i i m i i k 1 2  用类似的方法,可得  x = 0 = − m i i i m i k 1 2   x = 0 = − m i i i m i k 1 1  把以上各式合写成矩阵形式，得 ( x x x ) = 0               − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , m m m m m m m k k k              

由于λλ2,…,λ互不相同,根据范德蒙行列式的 计算公式,有 ∏(x1-x)≠0 l≤j<i≤m 于是 0 mm 但x,≠0=12,…m,所以只能有k=k k=0 因此向量组x1,x2,…,xm线性无关

由于    m , , 1, 2  互不相同，根据范德蒙行列式的 计算公式，有 ( ) 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 =  −    − − − j i m i j m m m m m                 于是 ( x x x ) = 0 m m k ,k , ,k 1 1 2 2  但 (i 1,2, ,m) xi  0 =  ，所以只能有 k1 = k2 == k m = 0 因此向量组 1 2 xm x ,x ,  , 线性无关．

二、特征值与特征向量的计算 由(61)式可得,(-A)x=0 a h 0 (64) nn 由定义6.1知,齐次线性方程组(64)有非零解 λ 所以-4= =0.(6.5)

二、特征值与特征向量的计算 由（6.1）式可得， (I − A)x = 0 即 0 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =                             − − − − − − − − − n n n n n n n x x x a a a a a a a a a            ． （6.4） 由定义6.1知，齐次线性方程组（6.4）有非零解 所以 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = − − − − − − − − − − = n n nn n n a a a a a a a a a I A           ． （6.5）