第八章二次型 在解析几何中,为了便于研究二次曲线 1x2+2a12xy+ 的几何性质,我们往往选择适当的坐标旋转变换 ∫x= x cose-ysnO y=x sin 6+ y cos 0 把曲线方程(8.1)化为标准形 aux +a2,y=ao(
第八章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 0 2 12 22 2 a11x + 2a x y + a y = a 的几何性质，我们往往选择适当的坐标旋转变换 = + = − sin cos cos sin ' ' ' ' y x y x x y 把曲线方程（8.1）化为标准形 ( ) 0 ' 0 ' 0 ' '2 2 2 ' '2 a1 1x + a y = a a = a
方程(8.1)的左边是关于变量x2y的一个二次齐 次多项式,从代数学的观点看,所谓化为标准形就是 通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它 只含变量的平方项.在二次曲面的研究中也有类似的 情形,在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问 题.现在我们讨论n个变量的二次齐次多项式的化 简问题
方程（8.1）的左边是关于变量 x, y 的一个二次齐 次多项式，从代数学的观点看，所谓化为标准形就是 通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它 只含变量的平方项．在二次曲面的研究中也有类似的 情形，在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问 题．现在我们讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化 简问题．
§1二次型 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示
§1 二次型 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示
二次型的概念 定义8.1含有η个变量 xn的二次齐次 多项式 )=a1x1+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2anx1xn+ +2a +2a2n +2 nn 称为一个n元二次型
一、二次型的概念 定义8.1 含有 n 个变量 n x , x , , x 1 2 的二次齐次 f x x xn = a x + a1 2 x1 x2 + a1 3 x1 x3 + + a1n x1 xn + 2 ( 1 , 2 , , ) 1 1 1 2 2 2 a x + a23x2 x3 + + a2n x2 xn + 2 22 2 2 2 an− n− xn− + an−1 n xn−1 xn + 2 1 1 1 , 2 , 2 nn n a x （8.2） 称为一个 n 多项式 元二次型．
当系数a为复数时,f(x,x2…,x)称为复二次型;当系数 an为实数时,称f(x,x2…x)为实二次型.这里我们只讨 论实二次型 在(82)式中,取a=an,那么2axx1=a1x1+anx 于是(82)式可写成 f(x, +a +a1nx1xn+ (8.3) anxnxtan2xnx2tangxnx3t.ta
当系数 ij a 为复数时， ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为复二次型；当系数 aij 为实数时，称 ( , , , ) 1 2 n f x x x 为实二次型．这里我们只讨 论实二次型． 在（8.2）式中，取 ij ji a = a ，那么 ij i j ij i j ji j i 2a x x = a x x + a x x 于是（8.2）式可写成 f x x xn = a x + a1 2 x1 x2 + a1 3 x1 x3 + + a1n x1 xn + 2 1 2 1 1 1 ( , , , ) a x x + a x + a2 3 x2 x3 ++ a2n x2 xn + 2 2 1 2 1 2 2 2 2 n1 n 1 n2 n 2 n3 n 3 n n n a x x + a x x + a x x ++ a x （8.3）