§2二次型的标准形 二次型的标准形 二、用正交变换法化二次型为标准形 三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 四、二次曲面的化简
§2 二次型的标准形 一、二次型的标准形 二、 用正交变换法化二次型为标准形 三、用拉格朗日配方法化二次型为标准形 四、二次曲面的化简
二次型的标准形 设f(x1,x2,…,xn)=kx1+k2x2+…+k,x 那么f(x,x2,…xn)称为二次型的标准形(或法式) 设由变量x,x2…x到变量y1,y2…,y的一个线 性变换为 y1+C12y+…+C1ny (8.5) 十C,2y,+…+C,ny
一、二次型的标准形 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 2 2 2 2 2 1 1 n n = k x + k x ++ k x 那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为二次型的标准形（或法式）． 设由变量 n x , x , , x 1 2 到变量 n y , y , , y 1 2 的一个线 性变换为 = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 （8.５）
那么线性变换(8.5)可写成矩阵形式 X=C 如果C的元素全为实数,那么变换X=Cy称为实 线性变换.这里,我们只考虑实的线性变换(简称线 性变换)·当C为满秩矩阵时,变换ⅹ=Cy称为满秩
记 ， = n x x x 2 1 x ， = n y y y 2 1 y ， = n n nn n n c c c c c c c c c C 1 2 21 22 2 11 12 1 那么线性变换（8.５）可写成矩阵形式 x = Cy 如果 C 的元素全为实数，那么变换 x = Cy 称为实 线性变换．这里，我们只考虑实的线性变换（简称线 性变换）．当 C 为满秩矩阵时，变换 x = Cy 称为满秩
线性变换;当C为正交矩阵时,变换X=Cy称 为正交变换 对于二次型,我们讨论的主要问题是:如何寻 求一个满秩线性变换,使二次型化为只含有平方项 的二次型,从而得到二次型的标准形.当然首先要 考虑的问题是二次型∫=xAx经过满秩线性变换 X=Cy后,其结果是否仍是一个二次型? 定理81任意实二次型f=x4x经过满秩线性 变换X=Cy后仍是一个二次型,并且它的秩不改变 证明把所作的满秩线性变换x=Cy代入二次型
线性变换；当 C 为正交矩阵时，变换 x = Cy 称 为正交变换． 对于二次型，我们讨论的主要问题是：如何寻 求一个满秩线性变换，使二次型化为只含有平方项 的二次型，从而得到二次型的标准形．当然首先要 考虑的问题是二次型 f x Ax 经过满秩线性变换 T = x = Cy 后，其结果是否仍是一个二次型？ 定理8.1 任意实二次型 f x Ax T = 经过满秩线性 变换 x = Cy 后仍是一个二次型，并且它的秩不改变． 证明 把所作的满秩线性变换 x = Cy 代入二次型
中,那么有 f=x' Ax=(Cy)' A (Cy)=y(C aC)y=y By, 其中B=CIAC,且 B=(C AC)=C A(C)=C AC=B 扣B是对称矩阵.由二次型与对称矩阵的一一对 应关系可知,yBy仍是一个二次型 因为C为满秩矩阵,所以有 R(B)=R(C AC)=R(A) 证 定义82对于两个n阶矩阵A与B,如果存在
中，那么有 f = x Ax = (Cy) A(Cy) = y (C AC)y = y By， 其中 B = C AC， 且 B = (C AC) = C A (C ) = C AC = B, 即 B 是对称矩阵．由二次型与对称矩阵的一一对 应关系可知， y By 仍是一个二次型． 因为 C 为满秩矩阵，所以有 R(B) = R(C AC) = R(A) 证毕 定义8.2 对于两个 n 阶矩阵 A 与 B ，如果存在