第三章多维随机变量及其分布 教学目的:了解多维随机变量的重要性质及其特征,重点介绍二维随机变量的有关结论。包括分布函数的 概念及其性质,二维连续型随机变量密度函数的性质。掌握边缘分布的概念,了解条件分布的概念及其具 体求解方法,了解随机变量相互独立的概念及其意义。掌握二维随机变量函数分布的基本求法 教学方法:课堂讲授与软件演示相结合。本章首先从一维随机变量入手导入多元随机变量的概念,但是重 点介绍二维随机变量,在明白了二维随机变量的有关结论后只需做简单的推导即可得出多维随机变量的相 应结论。通过离散型二维随机变量的有关结论引岀一般的二维随机变量的定义,并据此介绍二维连续型随 机变量的定义,密度函数的性质,均匀分布的概念等。通过对比一维随机变量,引入边缘分布的概念及条 件分布的概念,掌握边缘分布函数的确定方法,接着,引入两个随机变量相互独立的概念,并且将这个概 念具体化到离散型与连续型两类变量上。最后采用图形演示的方法引出二维随机变量函数分布的一般求解 方法。 教学手段:多媒体教学(电子教案,投影及粉笔、黑板的有机结合) 教学时数:6学时 §31二维随机变量 教学内容: 1.二维随机变量分布函数的定义: 定义31设(X,)是二维随机变量,二元实函数 F(x,y)=P{(X≤xn(Y≤y)}△P{X≤x,y≤y}(3.1.1) 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X与Y的联合分布函数 2.分布函数F(x,y)的基本性质: (1)F(x,y)分别是x与y的单调不减函数,即 当x1<x2时,F(x1,y)≤F(x2y); 当y1<y2时,F(x,y)≤F(xy2) (2)0≤F(x,y)≤1,而且 F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞-∞)=0,F(+∞+∞)=1 (3)F(x,y)分别关于x和y右连续,即 F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0) (4)当x1<x2,y1<y2时,有 0≤P{x1<X≤x2y1<Y≤y2} F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) (3.1.2) 3.二维离散型随机变量的定义: 定义31.2如果二维随机变量(X,Y)的所有可能值是有限个或无限可列个,则称(X,Y)为离散型的 4.联合分布律的定义 定义31.3设二维离散型随机变量(X,Y)的全部可能值为
- 1 - 第三章 多维随机变量及其分布 教学目的： 了解多维随机变量的重要性质及其特征，重点介绍二维随机变量的有关结论。包括分布函数的 概念及其性质，二维连续型随机变量密度函数的性质。掌握边缘分布的概念，了解条件分布的概念及其具 体求解方法，了解随机变量相互独立的概念及其意义。掌握二维随机变量函数分布的基本求法。 教学方法：课堂讲授与软件演示相结合。本章首先从一维随机变量入手导入多元随机变量的概念，但是重 点介绍二维随机变量，在明白了二维随机变量的有关结论后只需做简单的推导即可得出多维随机变量的相 应结论。通过离散型二维随机变量的有关结论引出一般的二维随机变量的定义，并据此介绍二维连续型随 机变量的定义，密度函数的性质，均匀分布的概念等。通过对比一维随机变量，引入边缘分布的概念及条 件分布的概念，掌握边缘分布函数的确定方法，接着，引入两个随机变量相互独立的概念，并且将这个概 念具体化到离散型与连续型两类变量上。最后采用图形演示的方法引出二维随机变量函数分布的一般求解 方法。 教学手段：多媒体教学（电子教案，投影及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：6 学时 §3.1 二维随机变量 教学内容： 1. 二维随机变量分布函数的定义： 定义 3.1.1 设 (X,Y) 是二维随机变量，二元实函数 F(x , y) = P{(X x) (Y y)} P{X x , Y y} （3.1.1） 称为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数，或称为随机变量 X 与 Y 的联合分布函数。 2. 分布函数 F(x, y) 的基本性质： （1） F(x, y) 分别是 x 与 y 的单调不减函数，即 当 1 2 x x 时, ( , ) ( , ) 1 2 F x y F x y ； 当 1 2 y y 时, ( , ) ( , ) 1 2 F x y F x y 。 （2） 0 F(x, y) 1 ，而且 F(−, y) = F(x,−) = F(−,−) = 0, F(+,+) =1。 （3） F(x, y) 分别关于 x 和 y 右连续，即 F(x, y) = F(x + 0, y) = F(x, y + 0) 。 （4）当 1 2 1 2 x x , y y 时，有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (3.1.2) 0 { ; } 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y − − + = 3. 二维离散型随机变量的定义： 定义 3.1.2 如果二维随机变量 (X,Y) 的所有可能值是有限个或无限可列个，则称 (X,Y) 为离散型的。 4. 联合分布律的定义： 定义 3.1.3 设二维离散型随机变量 (X,Y) 的全部可能值为
(x,y),=12…j=12…。(X,Y)取各个可能值的概率为 P(X=x,Y=y}=(x,y)AP,i=1,2,…j=12 称上式为二维离散型随机变量(X,)的分布律或概率分布,也称为X与y的联合分布律或联合概率分布。 5.二维连续型随机变量及其联合概率密度的定义 定义314若存在非负可积函数f(x,y),使对任意的x,y,二维随机变量(X,Y)的分布函数都可表示 为 F(x, y) f(u, v)dud 则称(X,Y是连续型的,而f(x,y)称为(x,Y)的概率密度,或称为X与Y的联合概率密度。 6.二维随机变量的概率密度的性质 (1)f(xy)≥0, (2) f(x, y)d dy=lo 此性质说明:介于xO面与概率密度曲面二=f(x,y)之间的曲顶柱体的体积为1 (3)在∫(xy)的连续点处,有 oF,y)=f(x, y) (4)对xOy面上的区域G,有 P((X, YEG=lf(x, y)dx dy 教学形式:通过实际例子引入二维随机变量分布函数的定义,之后与一维随机变量相对应介绍二维随机变 量分布函数的性质,然后引入二维离散型随机变量及其分布律的定义,其次介绍二维连续型随机变量及其 密度函数的定义,重点介绍二维连续型随机变量的概率密度的四条性质。本节某些内容可采用图形的方式 加以解释说明,若能采用辅助软件,则更能增强学生的直观感受 §32边缘分布 教学内容: 1.二维随机变量边缘分布函数的定义: 定义321对二维随机变量(x,Y,称分量X(或Y)的分布函数为(X关于X(或Y)的边缘分布函 数 2.二维离散型随机变量边缘分布律的定义: 定义32,2设(X,Y)为二维离散型随机变量,称分量X(或Y)的分布律为(XY关于X(或Y)的边缘分 布律。 3.二维连续型随机变量边缘概率密度的定义 定义32.3设(X,H)为二维连续型随机变量,称X(或Y)的概率密度为(X,Y)关于X(或Y)的边缘概率 密度。 4.二维连续型随机变量均匀分布的定义 若二维随机变量(X,Y)具有概率密度
- 2 - (xi , y j ),i =1,2, , j =1,2, 。 (X,Y) 取各个可能值的概率为 P{X = xi ,Y = y j } = p(xi , y j ) pij ,i =1,2, ; j =1,2, 。 称上式为二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律或概率分布，也称为 X 与 Y 的联合分布律或联合概率分布。 5. 二维连续型随机变量及其联合概率密度的定义 定义 3.1.4 若存在非负可积函数 f (x, y) ，使对任意的 x, y ，二维随机变量 (X,Y) 的分布函数都可表示 为： − − y x F(x, y) = f (u, v)dudv ， 则称 (X,Y) 是连续型的，而 f (x, y) 称为 (X,Y) 的概率密度，或称为 X 与 Y 的联合概率密度。 6. 二维随机变量的概率密度的性质： （1） f (x, y) 0,， （2） + − + − f (x, y) dx dy =1。 此性质说明：介于 xOy 面与概率密度曲面 z = f (x, y) 之间的曲顶柱体的体积为 1。 （3）在 f (x,y) 的连续点处，有 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y = ， （4）对 xOy 面上的区域 G ，有 = G P{(X, Y) G} f (x, y)dx dy 教学形式：通过实际例子引入二维随机变量分布函数的定义，之后与一维随机变量相对应介绍二维随机变 量分布函数的性质，然后引入二维离散型随机变量及其分布律的定义，其次介绍二维连续型随机变量及其 密度函数的定义，重点介绍二维连续型随机变量的概率密度的四条性质。本节某些内容可采用图形的方式 加以解释说明，若能采用辅助软件，则更能增强学生的直观感受。 §3.2 边缘分布 教学内容： 1. 二维随机变量边缘分布函数的定义： 定义 3.2.1 对二维随机变量 (X, Y) ，称分量 X (或Y) 的分布函数为 (X, Y) 关于 X (或Y) 的边缘分布函 数。 2. 二维离散型随机变量边缘分布律的定义： 定义 3.2.2 设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，称分量 X (或Y) 的分布律为 (X, Y) 关于 X (或Y) 的边缘分 布律。 3. 二维连续型随机变量边缘概率密度的定义： 定义 3.2.3 设 (X,Y) 为二维连续型随机变量，称 X (或Y) 的概率密度为 (X,Y) 关于 X (或Y) 的边缘概率 密度。 4. 二维连续型随机变量均匀分布的定义： 若二维随机变量 (X,Y) 具有概率密度
,(x,y)∈G x 0,其它 则称(XY在G上服从均匀分布。 5.二维正态随机变量的定义: 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x, y)= 1|(x-H1) exp- 2nmo02v1-p (x-41)(y-42),(y-42) 0<x<+∞,-0<y<+∝ 0,O2 其中山1,2,σ1,a2,P都是常数,且a1>0,02>0.-1<p<+1 则称(Xx,Y)服从参数为1,H2,O12,P的二维正态分布,记作:(X,)~N(122G2,a2,p) 6.补充说明 般来说,边缘分布并不能确定联合分布。 教学形式:首先回顾一维随机变量的分布函数,然后引入二维随机变量边缘分布函数的概念,然后分别讨 论二维离散型随机变量边缘分布律与二维连续型随机变量边缘概率密度的求法,最后引入两个重要的二维 连续型随机变量的分布,即二维均匀分布与二维正态分布 §33条件分布 教学内容: 二维离散型随机变量条件分布律的定义: 定义331设(X,)是二维离散型随机变量,对于固定的j,PY=y}>0,则称 p{x=x1y=y}=x=xy==B,=12.(3 为在y=y,条件下x的条件分布律,记为P{xy=y 同样定义X=x条件下Y的条件分布律 2.二维连续型随机变量条件概率密度的定义: 定义33,2设(X,Y)为二维连续型随机变量,其联合概率密度为∫(xy)。对固定的y,若f;(y)>0, 则称 frp(x v)A/(r, y) (3.3.2) fr() 为在Y=y条件下随机变量X的条件概率密度。此处 f(y)=」f(xyx 同样定义X=x条件下随机变量Y的条件概率密度。 3.二维随机变量条件分布函数的定义 定义333对给定的y,设对于任意固定的正数E,有P{y<Y≤y+e}>0,且对于任意实数x, 极限
- 3 - = 0 , 其它 ,( , ) 1 ( ) x y G f x, y A 则称 (X, Y) 在 G 上服从均匀分布。 5. 二维正态随机变量的定义： 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 , , , , 0, 0, 1 1, , , , ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2 1 1 ( , ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 − + − + − + − + − − − − − − − = 其中 都是常数，且 x y x y y x f x y 则称 (X, Y) 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布，记作： ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1 。 6. 补充说明： 一般来说，边缘分布并不能确定联合分布。 教学形式：首先回顾一维随机变量的分布函数，然后引入二维随机变量边缘分布函数的概念，然后分别讨 论二维离散型随机变量边缘分布律与二维连续型随机变量边缘概率密度的求法，最后引入两个重要的二维 连续型随机变量的分布，即二维均匀分布与二维正态分布。 §3.3 条件分布 教学内容： 1. 二维离散型随机变量条件分布律的定义： 定义 3.3.1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j ， P{Y = yj } 0 ，则称 , 1,2, { } { , } | = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j ij j i j i j (3.3.1) 为在 j Y = y 条件下 X 的条件分布律，记为 PX |Y = y j。 同样定义 i X = x 条件下 Y 的条件分布律。 2. 二维连续型随机变量条件概率密度的定义： 定义 3.3.2 设 (X,Y) 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为 f (x, y) 。对固定的 y ，若 f Y ( y) 0 ， 则称 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y (3.3.2) 为在 Y = y 条件下随机变量 X 的条件概率密度。此处 + − f y = f x, y dx Y ( ) ( ) 。 同样定义 X = x 条件下随机变量 Y 的条件概率密度。 3. 二维随机变量条件分布函数的定义： 定义 3.3.3 对给定的 y ，设对于任意固定的正数 ，有 P{y-ε Y y +ε } 0 ，且对于任意实数 x ， 极限
imP{X≤x|X-E<Y≤y+e}=lim P{X≤x,y-E<Y≤y+E} PI 存在,则称此极限为在y=y下X的条件分布函数,记作P{X≤xY=y或记作Fxm(x1y) 类似地可定义Fnx(Oy|x) 教学形式:首先由条件概率的概念自然地引出条件分布的概念,先讨论离散型随机变量的条件分布律,其 次讨论连续型随机变量的条件分布密度,最后将两者统一从而提出条件分布函数的概念。 §34相互独立的随机变量 教学内容: 1.二维随机变量相互独立的定义 定义34.1设F(x,y),F2(x),F1(y)分别为二维随机变量(X,)的联合分布函数及边缘分布函数。若对 于所有的x和y,都有 F(x, y)=F(x)Fr() 则称随机变量X和Y是相互独立的 2.二维离散型随机变量相互独立的等价定义 如果(X,Y)为离散型,则X和y相互独立的条件等价于: 对(X,Y)的所有可能值(x,y),有 Pix=x, r=y =PiX=x, Pir=y, i 即Pn=PP 3.二维连续型随机变量相互独立的等价定义: 如果(X,Y)为连续型,则X和y相互独立的条件等价于: f(x, y)=x(x)f() “几乎处处”成立(也可理解为(X,Y)落于使上式不成立的范围内的概率为零) 4.二维正态随机变量相互独立与p=0等价 教学形式:首先从事件的独立性引出随机变量的独立性并给出统一的定义,然后具体化到离散型与连续型 随机变量的两种情况上,最后指出二维正态随机变量相互独立与p=0等价。对于最后一个问题,可以采 用绘图软件直观地加以解释。由于相互独立在概率论中的重要地位,本节内容要多用几个例子加以说明, 确保学生能活学活用 §35两个随机变量函数的分布 教学内容 1.Z=X+Y的分布 设(XY)的概率密度为f(x,y),则Z=X+y的分布密度为 2(2)=(=-y 或 f2(=)=f(r,=-x)dx
- 4 - { } { , } lim { | } lim 0 0 − + − + − + = → + → + P y Y y P X x y Y y P X x X ε Y y ε 存在，则称此极限为在 Y = y 下 X 的条件分布函数，记作 P{X x | Y = y} 或记作 ( | ) | F x y X Y 。 类似地可定义 ( | ) | F y x Y X 。 教学形式：首先由条件概率的概念自然地引出条件分布的概念，先讨论离散型随机变量的条件分布律，其 次讨论连续型随机变量的条件分布密度，最后将两者统一从而提出条件分布函数的概念。 §3.4 相互独立的随机变量 教学内容： 1. 二维随机变量相互独立的定义： 定义 3.4.1 设 F(x, y),F (x),F (y) X Y 分别为二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数及边缘分布函数。若对 于所有的 x 和 y ，都有 F(x, y) F (x) F ( y) = X Y 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。 2. 二维离散型随机变量相互独立的等价定义： 如果 (X,Y) 为离散型，则 X 和 Y 相互独立的条件等价于： 对 (X,Y) 的所有可能值 ( , ) i j x y ，有 ij i j i j i j p p p P X x Y y P X x P Y y = • • = = = = = 即 { , } { } { }, 3. 二维连续型随机变量相互独立的等价定义： 如果 (X,Y) 为连续型，则 X 和 Y 相互独立的条件等价于： f (x, y) f (x) f ( y) = X Y “几乎处处”成立（也可理解为 (X,Y) 落于使上式不成立的范围内的概率为零）。 4. 二维正态随机变量相互独立与 = 0 等价。 教学形式：首先从事件的独立性引出随机变量的独立性并给出统一的定义，然后具体化到离散型与连续型 随机变量的两种情况上，最后指出二维正态随机变量相互独立与 = 0 等价。对于最后一个问题，可以采 用绘图软件直观地加以解释。由于相互独立在概率论中的重要地位，本节内容要多用几个例子加以说明， 确保学生能活学活用。 §3.5 两个随机变量函数的分布 教学内容： 1. Z = X +Y 的分布 设 (X,Y) 的概率密度为 f (x, y) ，则 Z = X +Y 的分布密度为 + − f z = f z − y y dy Z ( ) ( , ) 或 + − f z = f x z − x dx Z ( ) ( , )
2.有限个相互独立的正态变量的线性组合仍为正态变量 3. M=max(, y)r N=min r,y) 的分布 设X和Y是两个相互独立的随机变量,有 max(XY的分布函数为 Fma()=Fx()F() 类似地,可得min(XY的分布函数为 Fmn(=)=1-[1-Fx(=)[1-F(=)] 教学形式:由于本节比较抽象,所以要花费一定时间,首先引入二维随机变量(XY)函数Z=g(XY)的概 念,其次重点讲解几个特殊的随机变量函数的分布,即两个随机变量和的分布,最大值与最小值分布。若 学生接受能力较强,可以将两个独立随机变量最大值、最小值的分布推广到多个独立随机变量上
- 5 - 2. 有限个相互独立的正态变量的线性组合仍为正态变量。 3. M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，有 max(X,Y) 的分布函数为 F (z) F (z)F (z) max = X Y 类似地，可得 min(X,Y) 的分布函数为 F (z) 1-[1- F (z)][1- F (z)] min = X Y 教学形式：由于本节比较抽象，所以要花费一定时间，首先引入二维随机变量 (X,Y) 函数 Z = g (X,Y) 的概 念，其次重点讲解几个特殊的随机变量函数的分布，即两个随机变量和的分布，最大值与最小值分布。若 学生接受能力较强，可以将两个独立随机变量最大值、最小值的分布推广到多个独立随机变量上