《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 教学目的:了解事件的概念及概率的三种定义(主观概率,古典概率及几何概率),重点掌握古典概率的 计算方法,掌握事件之间的几种常见关系,加法定理,全概率公式及贝叶斯公式,贝努利试验。 教学方法:课堂讲授。用引言的方式介绍确定性现象与不确定性现象,并指出不确定性现象是概率论的研 究对象。在引入概率的概念的时候采用教学辅助软件的帮助,让学生有一定的视觉感受。通过五个著名问 题介绍事件概率的常见计算方法。采用当堂启发、实践,引入贝努利试验中成功事件概率的计算方法。 教学手段:多媒体教学(电子教案,投影及粉笔、黑板的有机结合) 教学时数:8学时 §11引言 教学内容:确定性现象与随机现象 教学形式:通过身边的事情引入必然现象,进而通过类比的方法引入随机现象,并指出这就是概率的研究 §12概率的统计定义(频率) 教学内容: 1.事件的基本概念(基本事件,样本空间,随机事件,必然事件,不可能事件) 2.概率的统计定义 定义121在一定的条件下,重复做n次试验,n为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增 大,频率—逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)=p。 这个定义称为概率的统计定义。 教学形式:首先介绍事件的基本概念,然后通过教学辅助软件,用模拟的方法引入概率的统计定义。 §13概率的古典定义(比率) 教学内容 1.古典试验 2.概率的古典定义 对于古典试验中的事件A,它的概率定义为: P(A)=" (13.1) n表示该试验中所有可能出现基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的
- 1 - 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 教学目的：了解事件的概念及概率的三种定义（主观概率，古典概率及几何概率），重点掌握古典概率的 计算方法，掌握事件之间的几种常见关系，加法定理，全概率公式及贝叶斯公式，贝努利试验。 教学方法：课堂讲授。用引言的方式介绍确定性现象与不确定性现象，并指出不确定性现象是概率论的研 究对象。在引入概率的概念的时候采用教学辅助软件的帮助，让学生有一定的视觉感受。通过五个著名问 题介绍事件概率的常见计算方法。采用当堂启发、实践，引入贝努利试验中成功事件概率的计算方法。 教学手段：多媒体教学（电子教案，投影及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：8 学时 §1.1 引言 教学内容：确定性现象与随机现象 教学形式：通过身边的事情引入必然现象，进而通过类比的方法引入随机现象，并指出这就是概率的研究 对象。 §1.2 概率的统计定义（频率） 教学内容： 1. 事件的基本概念（基本事件，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件） 2. 概率的统计定义。 定义 1.2.1 在一定的条件下,重复做 n 次试验, A n 为 n 次试验中事件 A 发生的次数，如果随着 n 逐渐增 大，频率 n n A 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做 P(A) = p 。 这个定义称为概率的统计定义。 教学形式：首先介绍事件的基本概念，然后通过教学辅助软件，用模拟的方法引入概率的统计定义。 §1.3 概率的古典定义（比率） 教学内容： 1. 古典试验 2. 概率的古典定义 对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为： n m P(A) = （1.3.1） n 表示该试验中所有可能出现基本结果的总数目。 m 表示事件 A 包含的试验基本结果数。这种定义概率的
方法称为概率的古典定义 教学形式:通过实际抛掷一枚均匀硬币的方法引入古典试验的概念,然后通过教学辅助软件,用模拟的方 法引入概率按照古典定义的计算方法,并且指出计算中的分子与分母并不总是容易获得 §14排列组合与古典概率计算 教学内容: 1.元素不允许重复的排列(全排列与选排列) 2.元素允许重复的排列 3.组合 4.超几何概率 教学形式:由于排列组合的内容大部分同学在高中接触过,所以可以直接将概念回顾以下,并且举几个实 际的例子即可,在引入超几何概率时,可以借助软件的帮助 §15事件的关系与运算,加法公理 教学内容 1.包含关系 若事件A发生必导致事件B发生,则称B包含A,记作AcB。若AcB且BcA,则A=B,称A与 相等 2.事件的并与交 事件A,B的并表示,A,B两个事件中至少有一个发生,记为AU∪B。事件A,B的交表示A,B两事件中 同时发生,记为A∩B,A·B或AB 3.对立事件与差事件 事件“非A”称为A的对立事件,记作A。A=排非引=A,所以A也是A的对立事件。 差事件A-B表示事件A发生,但事件B不发生。于是A-B=AB 4.加法公式 如果事件AB是互不相容的,则PAUB)=P(A)+P(B) 教学形式:首先介绍事件之间的各种可能关系的概念,在此基础上引入两个互斥事件的加法公式,若学生 接受状况良好,可将这个公式推广到多个互斥事件的和事件上来。 §1.6条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 教学内容 1.条件概率 定义1.6.1对任意事件A,B,P(A)>0,则称 P(BLA=P(AB) P(A) 为在A已发生的情况下,事件B发生的条件概率
- 2 - 方法称为概率的古典定义。 教学形式：通过实际抛掷一枚均匀硬币的方法引入古典试验的概念，然后通过教学辅助软件，用模拟的方 法引入概率按照古典定义的计算方法，并且指出计算中的分子与分母并不总是容易获得。 §1.4 排列组合与古典概率计算 教学内容： 1. 元素不允许重复的排列（全排列与选排列） 2. 元素允许重复的排列 3. 组合 4. 超几何概率 教学形式：由于排列组合的内容大部分同学在高中接触过，所以可以直接将概念回顾以下，并且举几个实 际的例子即可，在引入超几何概率时，可以借助软件的帮助。 §1.5 事件的关系与运算，加法公理 教学内容： 1. 包含关系 若事件 A 发生必导致事件 B 发生，则称 B 包含 A ，记作 A B 。若 A B 且 B A ，则 A = B ，称 A 与 B 相等 2. 事件的并与交 事件 A,B 的并表示， A,B 两个事件中至少有一个发生，记为 A B。事件 A,B 的交表示 A,B 两事件中 同时发生，记为 A B， A B 或 AB 。 3. 对立事件与差事件 事件“非 A ”称为 A 的对立事件，记作 A 。 A = 非非A= A ，所以 A 也是 A 的对立事件。 差事件 A− B 表示事件 A 发生，但事件 B 不发生。于是 A− B = AB 4. 加法公式 如果事件 A,B 是互不相容的，则 P(A B) = P(A) + P(B) 教学形式：首先介绍事件之间的各种可能关系的概念，在此基础上引入两个互斥事件的加法公式，若学生 接受状况良好，可将这个公式推广到多个互斥事件的和事件上来。 §1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 教学内容： 1. 条件概率 定义 1.6.1 对任意事件 A, B, P(A) 0，则称 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = 为在 A 已发生的情况下,事件 B 发生的条件概率
2.乘法公式 P(A1A2…An)=P(An|A1A2…An-1)P(A1|A1A2…An-2)…P(A2|A)P(A) 这公式称为概率的乘法公式。 3.全概率公式 设B1,B2…,Bn为两两互斥事件,且满足∪B=9,则对于任意的事件A,均有PA)=∑P(B)P(4/B) 此式称为全概率公式 4.设A1,A12…A为两两互不相容事件,且∪4=g,若对任意事件B,P(B)>0,则 P(A IB) P(A)P(B A) ∑P(A)PB|4) f=l 此式称为贝叶斯公式 教学形式:首先通过例子引入两个事件的条件概率的概念,进而推广到多个事件上,其次引入乘法公式, 当这个两个概念学生完全明白后,即可引入本节课的核心全概率公式与贝叶斯公式上来。最后通过敏感性 调查这个有趣的问题介绍全概率公式的实际应用,在讲贝叶斯公式时可以结合色盲的例子进行。 §17事件的独立性 教学内容: 1.两个事件相互独立的概念 对于两个事件AB,如果 P(A B)=P(A)E P(B A)=P(B) 则称A,B是相互独立的事件 三个事件相互独立的概念 对于三个事件A,B,C的相互独立用下面四个式子来定义 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC= P(AP(B)P(C) 3.多个事件相互独立的概念 n个事件A1,A12…,A相互独立是由下列2”-n-1个式子定义的 P(A4)=P(4)P(4),1<,=12,…n P(AA4)=P(4)P(A)P(A4<j<k,,jk=1,2,…,n P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 教学形式:首先通过例子引入两个事件独立的概念,进而推广到三个事件上,并指出两个定义的区别与联 系,其次推广到多个事件相互独立的概念上。可通过多个例子展示独立性这个概念在概率论中的重要地位
- 3 - 2. 乘法公式 ( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( ) P A1A2 An = P An A1A2 An−1 P An−1 A1A2 An−2 P A2 A1 P A1 这公式称为概率的乘法公式。 3. 全概率公式 设 B B Bn , , , 1 2 为两两互斥事件，且满足 = = n i Bi 1 ，则对于任意的事件 A ，均有 ( ) ( ) ( / ) 1 i i n i P A P B P A B = = 此式称为全概率公式。 4. 设 A A An , , 1 2 为两两互不相容事件，且 = = n i Ai 1 ，若对任意事件 B, P(B) 0 ，则 = = n i i i i i i P A P B A P A P B A P A B 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 此式称为贝叶斯公式。 教学形式：首先通过例子引入两个事件的条件概率的概念，进而推广到多个事件上，其次引入乘法公式， 当这个两个概念学生完全明白后，即可引入本节课的核心全概率公式与贝叶斯公式上来。最后通过敏感性 调查这个有趣的问题介绍全概率公式的实际应用，在讲贝叶斯公式时可以结合色盲的例子进行。 §1.7 事件的独立性 教学内容： 1. 两个事件相互独立的概念 对于两个事件 A,B ,如果 P(A| B) = P(A) 或 P(B | A) = P(B) 则称 A,B 是相互独立的事件。 2. 三个事件相互独立的概念 对于三个事件 A, B,C 的相互独立用下面四个式子来定义 = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ABC P A P B P C P BC P B P C P AC P A P C P AB P A P B 3. 多个事件相互独立的概念 n 个事件 A A An , , , 1 2 相互独立是由下列 2 − n −1 n 个式子定义的。 = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ; , , 1,2, , ( ) ( ) ( ), , , 1,2, , 1 2 n 1 2 n i j k i j k i j i j P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A i j k i j k n P A A P A P A i j i j n 教学形式：首先通过例子引入两个事件独立的概念，进而推广到三个事件上，并指出两个定义的区别与联 系，其次推广到多个事件相互独立的概念上。可通过多个例子展示独立性这个概念在概率论中的重要地位
s18独立试验序列 教学内容: 1.独立试验序列的概念 假若一串试验具备下列三条 (1)每一次试验只有两个结果,一个记为“成功”,一个记为“失败”,P{成功}=p,P(失败}=1-p=q; (2)成功的概率P在每次试验中保持不变 (3)试验与试验之间是相互独立的 则这一串试验称为独立试验序列,也称为 Berno1i概型。 2.在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率: (1)n次试验中恰有k次“成功”的概率 (2)第k次试验首次出现“成功”的概率。 教学形式:由于独立试验序列在概率论中的重要地位,所以例子非常丰富,此处可以多加展示,同时重点 解释象例1.84那样题目的解决方法。 §19几何概率和概率的数学定义 教学内容: 1.几何概率 设某一事件A(也是S中的某一区域),AcS,它的量度大小为A(4),若以P()表示事件A发生的概 率,考虑到“均匀分布”性,事件A发生的概率取为 P(A)=(A)/(S) 这样计算的概率。称为几何概率。 2.概率的数学定义 (1)非负性,即任何一个事件的概率0≤P(4)≤1 (2)规范性,即必然事件的概率等于1,P(Ω)=1; (3)无限可加性:即PUA)=∑P(A),A,A1=①,1≠1,j=12, 教学形式:通过著名的蒲丰针问题展示几何概率的计算方法,之后将本章的三种概率的定义用数学定义来 统一,从而符合从具体到抽象的人类一般的思维过程
- 4 - §1.8 独立试验序列 教学内容： 1. 独立试验序列的概念 假若一串试验具备下列三条： （1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”， P{成功} = p , P{失败} = 1− p = q ； （2）成功的概率 p 在每次试验中保持不变； （3）试验与试验之间是相互独立的。 则这一串试验称为独立试验序列，也称为 Bernoulli 概型。 2. 在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率： （1） n 次试验中恰有 k 次“成功”的概率； （2）第 k 次试验首次出现“成功”的概率。 教学形式：由于独立试验序列在概率论中的重要地位，所以例子非常丰富，此处可以多加展示，同时重点 解释象例 1.8.4 那样题目的解决方法。 §1.9 几何概率和概率的数学定义 教学内容： 1. 几何概率 设某一事件 A （也是 S 中的某一区域）， A S ,它的量度大小为 (A) ，若以 P(A) 表示事件 A 发生的概 率，考虑到“均匀分布”性，事件 A 发生的概率取为 P(A) = (A)/ (S) 这样计算的概率。称为几何概率。 2. 概率的数学定义 （1）非负性，即任何一个事件的概率 0 P(A) 1 ； （2）规范性，即必然事件的概率等于 1， P() = 1 ； （3）无限可加性：即 ( ) ( ), , ; , 1,2, 1 1 = = = = = P A P A A A i j i j i j i i i i 。 教学形式：通过著名的蒲丰针问题展示几何概率的计算方法，之后将本章的三种概率的定义用数学定义来 统一，从而符合从具体到抽象的人类一般的思维过程