§3向量组的秩 、向量组的秩与极大无关组 二、向量组极大无关组的性质 三、向量空间的基、维数与向量的坐标 四、过渡矩阵与坐标变换
一、向量组的秩与极大无关组 §3 向量组的秩 二、向量组极大无关组的性质 三、向量空间的基、维数与向量的坐标 四、过渡矩阵与坐标变换
§3向量组的秩 向量组的秩与极大无关组 在§2例8中,部分向量组a1,a2线性无关,但是向 量组a1,a2,a3却线性相关.类似地,部分向量组a2,a3 及a3,al1也具有这样的性质:它们本身是线性无关的, 但是如果添加一个向量进去,它们就变成线性相关的了 可见它们在向量组a1,a,a3中作为一个线性无关 的部分向量组,所包含的向量个数最多;并且这3个部分 向量组所含的向量个数相等.一般地,我们有
1 2 a ,a 1 2 a3 a ,a , 2 3 a ,a 3 a1 a , 1 2 3 a ,a ,a 一、向量组的秩与极大无关组 线性无关，但是向 却线性相关．类似地，部分向量组 及 也具有这样的性质：它们本身是线性无关的， 的部分向量组，所包含的向量个数最多；并且这3个部分 §3 向量组的秩 在§2例8中，部分向量组 量组 但是如果添加一个向量进去，它们就变成线性相关的了． 可见它们在 向量组 中作为一个线性无关 向量组所含的向量个数相等．一 般地，我们有
引理设矩阵A=(a1,a2…,an)R(A)=r,向量组 是向量组A:a1,a2,…,an的部分组且包含S个 向量.如果向量组A1线性无关,且向量组A的任意 s+1个向量线性相关,那么S=r 证因向量组A1线性无关,故由定理2知,由向 量组A为列构成的矩阵中有一个S阶子式不为零 从而S≤r.又因向量组A的任意s+1个向量
A R A r (a1 ,a2 ,,a m ), ( ) A1 A m a1 ,a2 ,,a s A1 A s 1 s r A1 A1 s s r A s 1 引理 设矩阵 ，向量组 是向量组 ： 的部分组且包含 向量．如果向量组 线性无关，且向量组 的任意 个向量线性相关，那么 证 因向量组 线性无关，故由定理２知，由 为列构成的矩阵中有一个 阶子式不为零， ．又因向量组 的任意 个向量 个 量组 向 从而
线性相关,故也由定理2知,矩阵A中任意s+1阶 子式都为零,从而r<S.所以,S=r 证毕 下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念 定义7设向量组A的一个包含r个向量的部分组 Ao:a a,,满足 (1)向量组A6线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量
A s 1 r s s r A r A r a ,a ,a 0 1 2 : A0 A r 1 线性相关，故也由定理２知，矩阵 中任意 子式都为零，从而 ．所以， ． 定义7 设向量组 的一个包含 个向量的部分组 （1）向量组 （2）向量组 中任意 个向量 阶 证毕 下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念． ，满足 线性无关；
(如果A中有r+1个向量的话)组成的向量组都线性相关, 那么向量组A称为向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称极大无关组);极大无关组所含向量个数r称为 向量组A的秩 含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩 为0.在§2例8中,部分组a1,a2;a2,a3及a3,a1都是 向量组a1,a2,a3的极大无关组.这说明向量组的极大
A r 1 A0 A r A （如果 中有 那么向量组 称为向量组 （简称极大无关组）；极大无关组所含向量个数 向量组 ，规定它的秩 个向量的话）组成的向量组都线性相关， 的一个极大线性无关向量组 称为 只含零向量的向量组没有极大无关组 的秩． 1 a2 a , 2 3 在§２例8中，部分组 ；a ,a 及 3 a1 a , 1 2 a3 a ,a , 都是 的极大无关组． 为0． 向量组 这说明向量组的极大