6.4.1平面几何中的向量方法教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图向量的运算向量和数到形数的运算形到向量形到数可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点教学目标与核心素养课程目标学科素养A.通过平行四边形这个几何模型，归纳总1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质，如平移、全结出用向量方法解决平面几何的问题的”等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量三步曲”；积表示；B.明确平面几何图形中的有关性质，如平2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示：3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问4.直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性；题中的优越性5.数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际间题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。教学重难点1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题
6.4.1 平面几何中的向量方法 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用，本节课主要学习用向量解决平面几何问题，进一步加深对向量工具性的理解。 本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思 路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替 “数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的 运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单 地表述为: 则向量方法 的流程图 可以简单地 表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点. 课程目标 学科素养 A.通过平行四边形这个几何模型,归纳总 结出用向量方法解决平面几何的问题的” 三步曲”； B.明确平面几何图形中的有关性质,如平 移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量 的线性运算及数量积表示； C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问 题中的优越性. 1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全 等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量 积表示； 2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步 曲”； 3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示； 4. 直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性； 5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问 题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意 识。 1.教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”； 2.教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题
课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标复习回顾，情境引入1.向量的三角形法则a+AB+BC=AC.特点：首尾相接，连首尾。通过复习前几节所学知识，引入本节向量的平行四边形法则新课。建立知识间的联系，提高学生OA+OB=OC概括、类比推理的能力。福特点：同一起点，对角线。2.向量减法的三角形法则a-b=OA-OB=BA。特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，情境引入 1. 向量的三角形法则 AB+ BC = AC 。 特点:首尾相接，连首尾。 向量的平行四边形法则 OA+OB = OC 特点:同一起点,对角线。 2.向量减法的三角形法则 a −b = OA−OB = BA。 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。 通过复习前几节所 学知识，引入本节 新课。建立知识间 的联系，提高学生 概括、类比推理的 能力
Fa3.平面向量的夹角公式a.bx,x, +yiy2cOs=lallb1/x+y/x2+y24.模x?+ya=va5.共线向量定理al/ b(b+0)a=b6.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题.二、探索新知例1.如图6.4-1，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：1DEIIBC,DE=-BC2图6.4-1通过例题让学生了解用向量方法证明：如图6.4-2，因为DE是△ABC的中位线，所以证明几何问题，提高ADAB, AEAC.学生的解决问题、分析问题的能力。从而 DE=AE-AD-1AC_1AB-1(AC-AB)又BC-AC-AB,所以DE-BC.图6.4-2于是DE//BC，DE=BC
3.平面向量的夹角公式 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 | || | cos x y x y x x y y a b a b + + + = = 4.模 2 1 2 1 2 | a |= a = x + y 5.共线向量定理 a // b(b 0) a = b 6.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何 的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题． 二、探索新知 例 1.如图 6.4-1，DE 是 ABC 的中位线，用向量方法证明： DE BC DE BC 2 1 // , = . 通过例题让学 生了解用向量方法 证明几何问题，提高 学生的解决问题、分 析问题的能力
思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：通过思考，总（2）通过向量运算，研究儿何元素之间的关系，如距离、夹角等问题：结用向量方法做几何问题的步骤，提(3)把运算结果“翻译”成几何关系高学生分析问题、概括问题的能力。例2.如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？图6.4-4解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问通过例题进一步熟题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：悉向量的工具作如图6.4-4，取（AB，AD)为基底，设AB=a，AD=用，提高学生用向b.则量解决几何知识解AC-a+b,DB=a-b决问题的能力。第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：ACt=(a+b)*=a+2a.b+bDB*=(a-b)=a2-2a.b+b2.上面两式相加，得AC+DB=2（a+b).第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC+BD=2(AB+AD*),三、达标检测1：已知在△ABC中，若ABa，AC-b，且α·b0，则△ABC的形状为(A.钝角三角形B.直角三角形通过练习巩固本节C.锐角三角形D.不能确定所学知识，通过学生解决问题的能答案A力，感悟其中蕴含2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，0是平面ABC内一点，点的数学思想，增强学生的应用意识。P满足0p=0A+(AB+AO)，则IAPI等于（）V1D.4A.2B.12
思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？ “三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 例 2.如图，已知平行四边形 ABCD，你能发现对角线 AC 和 BD 的长度 与两条邻边 AB 和 AD 的长度之间的关系 吗？ 通过思考，总 结用向量方法做几 何问题的步骤，提 高学生分析问题、 概括问题的能力。 通过例题进一步熟 悉向量的工具作 用，提高学生用向 量解决几何知识解 决问题的能力。 三、达标检测 1．已知在△ABC 中，若AB →＝a，AC →＝b，且 a·b<0，则△ABC 的形状为 ( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 答案 A 2．在直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2，O 是平面 ABC 内一点，点 P 满足OP →＝OA →＋ 1 2 (AB →＋AC →)，则|AP →|等于( ) A．2 B．1 C. 1 2 D．4 通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含 的数学思想，增强 学生的应用意识
答案B解析 :OP=0A+(AB+AO),.: P-OA-I(AB+ A0 , AP-I(AB+ A0 ,.AP为Rt△ABC斜边BC的中线．IAPI=1.3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，则AB·AD的值是答案22解析β 由CP=3PD, 得DP=IDC=1AB, AP=AD+DP=AD+1AB, BP=AP- AB= D +B- B= -3B. 因为 AP· = 2，所 以(D+) (4D-)-2 即-,·B是B=2. 又因为=·1625，AB=64，所以AB·AD-22.4.如图所示，在△ABC中，点0是BC的中点．过点0的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m十n的值为答案2解析：0是BC的中点，.A0-;(AB+AO)又：AB=mAM,AC=nAN,.AO-"AM+"AN2
答案 B 解析 ∵OP →＝OA →＋ 1 2 (AB →＋AC →)， ∴OP →－OA →＝ 1 2 (AB →＋AC →)，AP →＝ 1 2 (AB →＋AC →)， ∴AP 为 Rt△ABC 斜边 BC 的中线．∴|AP →|＝1. 3.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP → ＝2，则AB →·AD →的值是_． 答案 22 解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝ 1 4 DC →＝ 1 4 AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋ 1 4 AB →，BP →＝AP → － AB → ＝ AD → ＋ 1 4 AB → － AB → ＝ AD → － 3 4 AB → . 因 为 AP → · BP → ＝ 2 ，所以 AD →＋ 1 4 AB → · AD →－ 3 4 AB → ＝2，即AD →2－ 1 2 AD →·AB →－ 3 16AB →2＝2.又因为AD →2＝ 25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 4．如图所示，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交 直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则 m＋n 的 值为_． 答案 2 解析 ∵O 是 BC 的中点，∴AO →＝ 1 2 (AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝ m 2 AM →＋ n 2 AN →