（新教材）7.2.2复数的乘除运算教学设计（人教A版）教材分析复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把1换成一1，再把实部、虚部分别合并复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材教学目标与核心素养课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算：2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3.理解且会求复数范围内的方程根数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则；2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导；3.数学运算：复数四则运算；4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题教学重难点重点：复数代数形式的乘法和除法运算，难点：求复数范围内的方程根课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练教学工具：多媒体教学过程情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知zi=a+bi，=2=c+di，a，b，c，dER，则z1:2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
【新教材】7.2.2 复数的乘除运算 教学设计（人教 A 版） 复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结 果中把 i 2 换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数， 将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材. 课程目标： 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 数学学科素养 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4. 数学建模 ：结 合实数 范围内 求根 公式和 复数四 则运 算，解 决复 数范围 内的方 程根 问题. 重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 难点：求复数范围内的方程根. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体. 一、情景导入 前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何 种运算法则？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本 77-79 页，思考并完成以下问题 1、复数乘法、除法的运算法则是什么？ 2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复数代数形式的乘法法则 已知 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
[提示复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i换成一1，再把实部、虚部分别合并.2.复数乘法的运算律对于任意≥1，22，23EC，有交换律21°2222°21结合律(21° 22) 23 =21 (22° 23)乘法对加法的分配律21(22+=3)=21:22十21°233.复数代数形式的除法法则ac+bd,bc-ad(a+bi)-(c+di)=2+d i(c+di#0)+四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1计算下列各题(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(2-3)(2+3i);(3)（1+i)2【答案】 (1)—20+15(2)13. (3)2i【解析】（1)原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i(2)原式=(2-i)(—1+5i)(3-4i)+2i=4-9i2=4+9=13（3）原式=1+2i+i2=1+2i-=2i解题技巧（复数乘法运算技巧）1.两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开(2)再将i换成-1（3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.2.常用公式(1)(a+bi)2=?-b2+2abi(a,bER)(2)(a+bi)(a-bi)=a?+b2(a, bER).(3)(1±i)2=±2i.跟踪训练一1.计算：(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=(DA. 2-13iB. 13+2iC. 13-13iD.-13-2i【答案】D【解析】(1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9F)=-13-2i2.若复数(1一i)(α十i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数α的取值范围是（1A. (00, 1)B. (-00, 1)C. (1, +o)D. (-1, +o)【答案】B.【解析】因为==（1-ia+i)=a+1+(1-a)i，所以它在复平面内对应的点为a十1,1一a)
[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i 2 换成－1，再把实部、 虚部分别合并． 2.复数乘法的运算律 对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝ ac＋bd c 2＋d 2 ＋ bc－ad c 2＋d 2 i(c＋di≠0) 四、典例分析、举一反三 题型一 复数的乘法运算 例 1 计算下列各题． (1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 . 【答案】(1) －20＋15i. (2) 13. (3) 2i. 【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i. (2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13. (3)原式＝1＋2i＋i 2＝1＋2i－1＝2i. 解题技巧（复数乘法运算技巧） 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将 i 2 换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a 2＋b 2 (a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. 跟踪训练一 1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ( ) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i 【答案】D. 【解析】 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i 2－(4－9i2 )＝－13－2i. 2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 【答案】B. 【解析】因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)
[a+1<0又此点在第二象限，所以解得α<-1-a>0题型二复数的除法运算例2计算(1十2i)-(3一4i)【答案】-+55原式=1+21(1+2i)(3+4i)-5+10i1+2i.【解析】253-4i(3-4i)(3+4i)5解题技巧：(复数的除法运算技巧)1.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2．常用公式(1)=-i; (2)=i; (3)=-i.跟踪训练二1.复数z1(为虚数单位)，则=【答案】21-i11【解析】：222-21+i(1+i)(1-i)①+-F-..三=21+i4+3i2.计算：2-i1-i【答案】—2十i.(1+i)(4 +3i)1+7(1+7i)(1+3i)【解析】-2十i1-3i10(2-i)(1-i)题型三复数范围内的方程根问题例3在复数范围内解下列方程：(1) x2 +2=0:(2）ax2+bx+c=0，其中a,b,ceR，且a±0,=b2-4ac<0（1）方程x2+2=0的根为x=±V2i【答案】-(b2-4ac)b（2）方程的根为x=一2a2a
又此点在第二象限，所以 a＋1＜0， 1－a＞0， 解得 a＜－1. 题型二 复数的除法运算 例 2 计算(1＋2i)÷(3－4i). 【答案】− 1 5 + 2 5 𝑖. 【解析】 原式 = 1+2𝑖 3−4𝑖 = (1+2𝑖)(3+4𝑖) (3−4𝑖)(3+4𝑖) = −5+10𝑖 25 = − 1 5 + 2 5 𝑖. 解题技巧： (复数的除法运算技巧) 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. 跟踪训练二 1．复数 z＝ 1 1＋i (i 为虚数单位)，则|z|＝_. 【答案】 2 2 . 【解析】∵z＝ 1 1＋i ＝ 1 (1 )(1 ) i i i − + − ＝ 1－i 2 ＝ 1 2 － 1 2 i， ∴|z|＝ 1 2 2＋ － 1 2 2＝ 2 2 . 2．计算： 1＋i 4＋3i 2－i 1－i ＝_. 【答案】－2＋i. 【解析】 (1 )(4 3 ) (2 )(1 ) i i i i + + − − ＝ 1＋7i 1－3i＝ (1 7 )(1 3 ) 10 + + i i ＝－2＋i. 题型三 复数范围内的方程根问题 例 3 在复数范围内解下列方程： （1） 2 x + = 2 0 ； （2） 2 ax bx c + + = 0 ，其中 abc , , R ，且 2 a b ac = − 0, 4 0． 【答案】 （1）方程 2 x + = 2 0 的根为 x i = 2 ． （2）方程的根为 ( ) 2 4 2 2 b ac b x i a a − − = − ．
【解析】（1)因为()"=(-i)*=-2，所以方程+2=0的根为×=±2ib )2b2-4ac（2）将方程ax2+bx+c=0配方，得x+4a?2a)-(b2 -4ac)bx-2a2a-(b2 - 4ac)b所以原方程的根为x=2a2a解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式"不再适用.跟踪训练三1、已知1十i是方程x十bx十c=0的一个根（b，c为实数）(1)求b，c的值：(2)试判断1-i是否是方程的根，【答案】（1)b=一2，c=2.（2)1一i也是方程的一个根.【解析】（1)因为1+i是方程x+bx+c=0的根，:.(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0.[b+c=0,[b=-2,:.b=-2, c=2得.[2+b=0,[c=2(2)将方程化为x2-2x+2=0，把1-i代入方程左边x2-2x+2=(1—i)2—2(1-i)+2=0，显然方程成立，：1一i也是方程的一个根.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.2.2复数的乘除运算例 1例2例 31.复数的乘法运算2.复数乘法的运算律七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题教学反思
【解析】（1）因为 2 2 ( 2 i) ( 2 i) 2 = − = − ，所以方程 2 x + = 2 0 的根为 x i = 2 ． （2）将方程 2 ax bx c + + = 0 配方，得 2 2 2 4 2 4 b b ac x a a − + = ， ( ) 2 4 2 2 b ac b x i a a − − + = ． 所以原方程的根为 ( ) 2 4 2 2 b ac b x i a a − − = − ． 解题技巧（解决复数方程根问题的技巧） 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的 关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用． 跟踪训练三 1、已知 1＋i 是方程 x 2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)． (1)求 b，c 的值； (2)试判断 1－i 是否是方程的根． 【答案】(1)b＝－2，c＝2. (2)1－i 也是方程的一个根． 【解析】(1)因为 1＋i 是方程 x 2＋bx＋c＝0 的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴ b＋c＝0， 2＋b＝0， 得 b＝－2， c＝2. ∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为 x 2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边 x 2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴ 1－i 也是方程的一个根． 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 80 页练习，80 页习题 7.2 的剩余题. 7.2.2 复数的乘除运算 1. 复数的乘法运算 例 1 例 2 例 3 2. 复数乘法的运算律 3. 复数的除法
本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识
本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出 复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例 3，使学生对方程的根有了更深刻的认识