6.2.4向量的数量积第 1 课时向量的数量积的物理背景和数量积教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的运算律，本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别，运算结果是一个数量。教学目标与核心素养课程目标学科素养1.数学抽象：数量积的定义；A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量：2.逻辑推理：数量积的性质；B.会求平面向量的数量积、投影向量：3.数学运算：求平面向量的数量积：C.熟记平面向量数量积的性质：4.直观想象：投影向量。D.能运用数量积的性质解决问题；E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。教学重难点1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。课前准备
6.2.4 向量的数量积 第 1 课时 向量的数量积的 物理背景和数量积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数 量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积 的性质。 向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很 丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代 数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区 别,运算结果是一个数量。 课程目标 学科素养 A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、 投影向量； B.会求平面向量的数量积、投影向量； C.熟记平面向量数量积的性质； D.能运用数量积的性质解决问题； E.通过数量积的引入和应用，初步体会知 识的发生、发展的过程过程，培养学生的 思维习惯。 1.数学抽象：数量积的定义； 2.逻辑推理：数量积的性质； 3.数学运算：求平面向量的数量积； 4.直观想象：投影向量。 1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量； 2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用
多媒体教学过程
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教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新通过复习上节所学知识，引入本1.向量的数乘的定义：节新课。建立知识间的联系，提高学【答案】一般地，我们规定实数入与向量α的积是一个向量，这种运生概括、类比推理的能力。算叫做向量的数乘，记作入a，它的长度与方向规定如下：(1)[alal:（2）当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反。2.向量的数乘运算律：【答案】设a、b为任意向量，、μ为任意实数，则有：a(μa) =(ap)a(1)(2)(a+μ)a=Aa+μua(3)(a+b)=Na+b二、探索新知思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？通过思考，由物【答案】W=FlS|cosO理知识引入本节知识，提高学生的解决思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？问题、分析问题的能力
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的定义： 【答案】一般地，我们规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度与方向规定如下： （1） | a |=| || a | ； （2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的 方向与 a 的方向相反。 2.向量的数乘运算律： 【答案】设 a 、b 为任意向量， 、 为任意实数，则有： （1） (a) = ()a （2） ( + )a = a + a （3） (a + b) = a + b 二、探索新知 思考 1： 一个物体在力 F 的作用下产生的位移 s，那么力 F 所做的 功应当怎样计算？ 【答案】 W =| F || S | cos 思考 2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 通过复习上节 所学知识，引入本 节新课。建立知识 间的联系，提高学 生概括、类比推理 的能力。 通过思考，由物 理知识引入本节知 识，提高学生的解决 问题、分析问题的能 力
【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量a和b，0是平面上的任意一点，作OA=a,OB=b,则ZAOB=0(0≤0≤元）叫做向量a和b的夹角。显然，当θ=0时，a和b同向：当θ=元时，a和b反向。如果和的夹角是=号，我们就说a和垂直，记作b。2思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其通过思考，建结果又该如何表述？立知识间的联系，提高学生分析问【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小」题、概括能力。及其夹角余弦的乘积。w =[F--cos0111a.b= lal 1bl cose2.数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|ab|cos6叫做向量a和b的数量积（或内积),记作a·b，即a·b=ab|cos。规定：零向量与任一向量的数量积为0。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2）α·b中间的“，”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“×”；
【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 1.向量的夹角的定义： 已知两个非零向量 a和b ，O 是平面上的任意 一点，作 OA = a,OB = b, 则 AOB = (0 ) 叫做向量 a和b 的夹角。 显然，当 = 0 时， a和b 同向；当 = 时， a和b 反向。 如果 a和b 的夹角是 2 = ，我们就说 a和b 垂直，记作 a ⊥ b 。 思考 3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其 结果又该如何表述？ 【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小 及其夹角余弦的乘积。 2.数量积的定义： 已知两个非零向量 a和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做向量 a和b 的数量积（或内积），记作 ab ，即 ab =| a || b | cos 。 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 。 说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角 决定. （2） ab 中间的“ ”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“ ”； 通过思考，建 立知识间的联系， 提高学生分析问 题、概括能力
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是［0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？【答案】当0°≤<90°时，α·b为正当90°<0≤180°时，a.6为负；当θ=90°时，α·b为零。通过思考，让学生进结论：数量积符号由cosθ的符号所决定。一步理解数量积的2元学求a.b.定义，提高学生理解例1.已知a=5b=4,a和b的夹角=问题的能力。解：: a ·b =|al|b/cos 0-5X4x0gS3=5X4x(2)=10.例2.设|a=12|b=9,a.b=-54/2，求a和b的夹角解：解：由a·blal/blcos0，格a·6-54V2_2cos 0m/Ta//6T12x9通过例题巩固数量因为0E[0，]，所以9一积的定义，提高学生解决问题的能3.投影向量的定义：力
（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°， 180°]。 思考 4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候 为负？ 【答案】当 0°≤θ ＜ 90°时， ab 为正； 当 90°＜θ ≤180°时， ab 为负； 当 θ =90°时， ab 为零。 结论：数量积符号由 cos 的符号所决定。 例 1.已知 | a |= 5,| b |= 4, a和b 的夹角 3 2 = ，求 ab 。 解： 例 2.设 | a |=12,| b |= 9, a b = −54 2 ，求 a和b 的夹角。 解： 3. 投影向量的定义： 通过思考，让学生进 一步理解数量积的 定义，提高学生理解 问题的能力。 通过例题巩固数量 积的定义，提高学 生解决问题的能 力