6.2.2向量的减法运算教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转换。学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及儿何意义会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量，具备了一定的作图能力。这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。类比数的减法运算时，应让学生注意对“被减数"的理解。本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。通过类比数的减法，得到向量的减法及几何意义培养了学生的化归思想和数形结合思想。这样不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中1.数学抽象：向量减法的定义：的作用；2.逻辑推理：向量减法的法则：B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向3.数学运算：求两个向量的差；量，并理解其几何意义；4.直观想象：向量减法的几何意义。C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。教学重难点1.教学重点：向量减法的运算和几何意义；2.教学难点：减法运算时差向量方向的确定。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标
6.2.2 向量的减法运算 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教 A 版）第六章《平面向量及其 应用》，本节课是第 3 课时。 向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对 上节课内容的一个转换。学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法 则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。这为学习向量的减法运算打下了 很好的基础。类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。 本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。通过类比数的减法,得到向量的减法及几何 意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义 的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。 课程目标 学科素养 A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中 的作用； B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向 量，并理解其几何意义； C.会求两个向量的差； D.培养学生的类比思想、数形结合思想及 划归思想。 1.数学抽象：向量减法的定义； 2.逻辑推理：向量减法的法则； 3.数学运算：求两个向量的差； 4.直观想象：向量减法的几何意义。 1.教学重点：向量减法的运算和几何意义； 2.教学难点：减法运算时差向量方向的确定。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、复习回顾，温故知新1.向量加法的三角形法则？通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。a+b-AB+BC-AC注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点2.向量加法的平行四边形法则？0a+b=OA+OB=OC通过思考，由实注意：起点相同.共线向量不适用。数的减法引入向量二、探索新知的减法，建立知识间思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？的练习，提高学生分【答案】实数α的相反数记作-a析问题能力。思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如设x,yeR,x-y=x+(-y)。1.相反向量的定义：设向量a，我们把与a长度相同，方向相反的向量叫做a的相反向量。通过练习，让学生进记作：-a。一步理解相反向量的定义，巩固所学知规定：0的相反向量仍是0。识。练习：（1)-(-a)=——;(2) a+(-a)= —_;(-a)+a=_(3）设a与b互为相反向量，那么a=——，=—a+b=【答案】(1)a（2)（3）--α2.向量减法的定义：通过探究思考，学习怎样求两向量的减向量α加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)。法，提高学生分析问求两个向量差的运算叫做向量的减法。题的能力
一、复习回顾，温故知新 1. 向量加法的三角形法则？ a +b = AB+ BC = AC 注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个 向量的终点. 2.向量加法的平行四边形法则？ a +b = OA+OB = OC 注意：起点相同.共线向量不适用。 二、探索新知 思考 1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？ 【答案】实数 a 的相反数记作-a. 思考 2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的 减法呢？ 【答案】如 设x, yR, x − y = x +(−y) 。 1.相反向量的定义： 设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反的向量叫做 a 的相反向量。 记作： − a 。 规定： 0 的相反向量仍是 0 。 练习：（1） −(−a) = ； （2） a +(−a) = ； (−a) + a = ； （3）设 a 与 b 互为相反向量，那么 a = ，b = ， a + b = 。 【答案】（1） a （2） 0 0 （3） − b − a 0 2. 向量减法的定义： 向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a −b = a +(−b)。 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 通过复习上节所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的联 系，提高学生概括、 类比推理的能力。 通过思考，由实 数的减法引入向量 的减法，建立知识间 的练习，提高学生分 析问题能力。 通过练习，让学生进 一步理解相反向量 的定义，巩固所学知 识。 通过探究思考，学习 怎样求两向量的减 法，提高学生分析问 题的能力
探究：向量减法的几何意义是什么？设OA=a,OB=b,OD=-b则a-b=a+(-b)=OA+OD=OC在平行四边形OCAB中，H-bBA-OC-a-b思考3：不借助向量的加法法则你能直接作出a-b吗？通过思考进一步完善向量的减法，让学生进一步理解向量的减法，提高学生的观察、概括能力。在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b。即α-b可以表示为从向量b的终点指向α的终点的向量，这就是向量减法的几何意义。注意：（1）起点必须相同；（2）指向被减向量的终点。思考4：如果从α的终点指向b终点作向量，所得向量是什么呢？【答案】b-a思考5：当a与b共线时，怎样作a-b呢？当a与b方向相同时，通过例题的讲解，让a学生进一步理解怎样作两个向量的差，提高学生解决与分0·A·Bb析问题的能力。在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b。通过练习，进一步巩当a与b方向相反时，固向量的减法，提高学生运用所学知识a解决问题的能力，提高学生的运算能力。bB.A0
探究：向量减法的几何意义是什么？ 设 OA = a,OB = b,OD = −b. 则 a −b = a +(−b) = OA+OD = OC 在平行四边形 OCAB 中 ， BA = OC = a −b 思考 3：不借助向量的加法法则你能直接作出 a − b 吗？ 在平面内任取一点 O，作 OA = a,OB = b, 则 BA = a −b。 即 a − b 可以表示为从向量 b 的终点指向 a 的终点的向量，这就是向 量减法的几何意义。 注意：（1）起点必须相同；（2）指向被减向量的终点。 思考 4：如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？ 【答案】 b − a 思考 5：当 a 与 b 共线时，怎样作 a − b 呢？ 当 a 与 b 方向相同时， 在平面内任取一点 O，作 OA = a,OB = b, 则 BA = a −b。 当 a 与 b 方向相反时， 通过思考进一 步完善向量的减法， 让学生进一步理解 向量的减法，提高学 生的观察、概括能 力。 通过例题的讲解，让 学生进一步理解怎 样作两个向量的差， 提高学生解决与分 析问题的能力。 通过练习，进一步巩 固向量的减法，提高 学生运用所学知识 解决问题的能力，提 高学生的运算能力
在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=α-b。例1.如图，已知向量a,bc,a,求作向量a-b,c-d(1)(2)图6.2-12解：作法：如图6.2-12（2)，在平而内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC-c，ODd.则BA=a-b,DC=e-d.练习：填空：(2) BA-BC =(1) AB-AD=(3) BC-BA =(4) OD-OA=（6)AO-BO=(5)OA-OB=(2)CA(3)AC(4) AD【答案】（1）DB(6) BA(5) AB例2.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b，你能用a,b表示向量AC.DB吗？解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC-a+b.同样，由向量的减法，知DB-AB-AD-a-b三、达标检测1.在△ABC中，若BA=a，BC=b，则CA等于（）A.aB.a+bC.b-aD.a-b通过练习巩固本节所学知识，通过学生【解析】CA=BA-BC-b.故选D解决问题的能力，感【答案】D悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应
在平面内任取一点 O，作 OA = a,OB = b, 则 BA = a −b。 例 1.如图，已知向量 a,b,c,d, 求作向量 a −b,c − d. 解： 练习：填空： （1） AB− AD = ，（2） BA − BC = ， （3） BC − BA = ， （4） OD −OA = ， （5） OA−OB = ，（6） AO− BO = 。 【答案】（1） DB （2） CA （3） AC （4） AD （5） AB （6） BA 例 2. 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB = a, AD = b ，你能用 a,b 表示向量 AC,DB 吗？ 三、达标检测 1．在△ABC 中，若BA→＝a，BC→＝b，则CA→等于( ) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 【解析】 CA→＝BA→－BC→＝a－b.故选 D． 【答案】 D 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应
用意识。2.如图，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，BC=c，则DC=(B. b-(a+c)A.a-b+cC.a+b+cD.b-a+cDC=DA+AB+BC=a-b+c【解析】【答案】IA3.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（A.EF=OF+OEB.EF=OF-OEC.EF=-OF+OED.EF=-OF-OE【解析】因为O，E，F三点不共线，所以在AOEF中，由向量减法的几何意义，得EF=OF-OE，故选B【答案】B4.已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是①若a+=a+，则a与b方向相同；②若a+=a一，则a与b方向相反③若a+例=a一b，则a与b有相等的模；④若al-例=a，则a与b方向相同.【解析】当a，b方向相同时有a+=a+，—=a-b，当a，b方向相反时有Ia一l=a+外，[a+=a-,因此①②④为真命题【答案】10205. 化简(AB-CD)-(AC-BD).【解】法—：(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=(AB+ BD)+(DC+CA)
2．如图，在四边形 ABCD 中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→ ＝( ) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 【解析】 DC→ ＝DA→ ＋AB→＋BC→＝a－b＋c. 【答案】 A 3．若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A．EF→＝OF→ ＋OE→ B．EF→＝OF→ －OE→ C．EF→＝－OF→ ＋OE→ D．EF→＝－OF→ －OE→ 【解析】 因为 O，E，F 三点不共线，所以在△OEF 中，由向 量减法的几何意义，得EF→＝OF→ －OE→，故选 B． 【答案】 B 4．已知 a，b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_. ①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同； ②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反； ③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模； ④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同． 【解析】 当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－ b|，当 a，b 方向相反时有 ||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题． 【答案】 ①②④ 5．化简(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ )． 【解】 法一：(AB→－CD→ )－(AC→－BD→ ) ＝AB→－CD→ －AC→＋BD→ ＝AB→＋DC→ ＋CA→＋BD→ ＝(AB→＋BD→)＋(DC→ ＋CA→) 用意识