6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示。引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件（如果存在实数入，使得8入b，那么8与b共线），本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的教学目标与核心素养课程目标学科素养A.掌握向量数乘运算的坐标表示：1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示；B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示：3.数学运算：由向量共线求参数的值：4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系：5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。教学重难点1.教学重点：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线：2.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。课前准备多媒体教学过程
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教 A 版）第六章《平面向量及 其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示。 引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的 某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件 (如果存在实数λ,使得 a=λb,那么 a 与 b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表 示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向 量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 课程目标 学科素养 A.掌握向量数乘运算的坐标表示； B.会根据向量的坐标，判断向量是否共线； 1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示； 2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示； 3.数学运算：由向量共线求参数的值； 4.直观想象：学会用坐标进行向量的相关运算，理解数 学内容之间的内在联系； 5.数学模型：通过对共线向量坐标关系的探究，提高分 析问题、解决问题的能力。 1.教学重点：向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线； 2.教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。 多媒体
教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新通过复习上节所学知识，引入本节新1.已知a=(x,J),b=(x2,y)，则a+b.a-b的坐标是什么？课。建立知识间的联系，提高学生概【答案】a+b=(x+x2,+y2)a-b=(x-x2,-2)括、类比推理的能力。二、探索新知思考：已知a=（xy），你能得到aa的坐标吗？【分析】因为a=(x,y)，所以a=(xi+yj)=xi+y）即 a=(ax, y) 。通过例题让学结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量生进一步识记向量的相应坐标.加、减法、数乘的坐标运算，提高学生的例1.已知a=(2,1),b=(-3,4)，求3a+4b的坐标。解决问题、分析问题的能力。解：3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6, 19).探究：设a=(x,),b=(x2,)，若向量a,b共线（其中b0）通过探究，掌则这两个向量的坐标应满足什么关系？握共线向量的坐标之间的关系，提高【解析】向量a,b共线的充要条件是存在实数入，使a=ab，用坐标学生分析问题、概括能力。[=,整理得-=0 , 表示为(,)=(x2,2)即(y1=2y2
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.已知 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 a = x y b = x y ，则 a +b，a −b 的坐标是什么？ 【答案】 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 a +b = x + x y + y ，a −b = x − x y − y 二、探索新知 思考：已知 a = (x, y) ，你能得到 a 的坐标吗？ 【分析】因为 a = (x, y) ，所以 a = (xi + y j) = xi +y j 即 a = (x,y) 。 结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量 的相应坐标. 例 1.已知 a = (2,1)，b = (−3，4)，求3a + 4b 的坐标。 探究：设 ( , ), ( , ) 1 1 2 2 a = x y b = x y ，若向量 a,b 共线（其中 b 0 ）， 则这两个向量的坐标应满足什么关系？ 【解析】向量 a,b 共线的充要条件是存在实数 ，使 a = b ，用坐标 表示为 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 x y = x y 即 ， = = 1 2 1 2 y y x x 整理得 x1 y2 − x2 y1 = 0 ， 通过复习上节所学 知识，引入本节新 课。建立知识间的 联系，提高学生概 括、类比推理的能 力。 通过例题让学 生进一步识记向量 加、减法、数乘的坐 标运算，提高学生的 解决问题、分析问题 的能力。 通过探究，掌 握共线向量的坐标 之间的关系，提高 学生分析问题、概 括能力
这就是说，向量a,b(b0)共线的充要条件是xj2-J=0。例 2. 已知a=(4,2),b=(6,y)，且al/ b,求y通过例题练习共线解：因为allb，所以4y-2×6=0，解得y=3。向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力。例3.已知A(-1-1),B(1,3),C(2,5),判断A，B，C三点之间的关系。解：猜想A，B，C三点共线。因为 AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4)AC=(2-(-1),5-(-1)=(3,6), 又2×6-4×3=0所以ABIIAC。又直线AB，直线AC有公共点A，所以，A，B，C三点共线。例4.设点P是线段P,P2上的一点，点P，P2的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2),通过例题进一步掌握向量加法、（1）当P是线段PP2的中点时，求点P的坐标：减法、数乘向量的坐标运算，提高学（2）当P是线段P,P2的一个三等分点时，求点P的坐标。生的观察、概括能解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知力。P-(oP+OP)-(，")(+a+)所以，点P的坐标是(2图6.3-16
这就是说，向量 a,b(b 0) 共线的充要条件是 x1 y2 − x2 y1 = 0 。 例 2.已知 a = (4,2),b = (6, y)，且a // b，求y. 解：因为 a // b，所以4y −26 = 0 ，解得 y = 3 。 例 3.已知 A(−1,−1), B(1,3),C(2,5), 判断 A，B，C 三点之间的关系。 解：猜想 A，B，C 三点共线。 因为 AB = (1−(−1),3−(−1)) = (2,4) ， AC = (2−(−1),5−(−1)) = (3,6) ，又 26−43 = 0 所以 AB// AC 。 又直线 AB，直线 AC 有公共点 A， 所以，A，B，C 三点共线。 例 4.设点 P 是线段 P1P2 上的一点，点 P1，P2 的坐标分别为 ( , ),( , ) 1 1 2 2 x y x y ， （1）当 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标； （2）当 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标。 通过例题练习共线 向量的坐标运算， 提高学生解决问题 的能力。 通过例题进一 步掌握向量加法、 减法、数乘向量的 坐标运算，提高学 生的观察、概括能 力
（2）如图6.3-17，当点P是线段P,P，的一个三等分点时，有两种情况，即PPPP或P,P=2PP.如果P，P=P：（图6.3-17(1)，那么OP-OP+P.P-OP+P.P=OPi+1(OP;-OP)-号OPi+1OF.(2,)(22+,21+)即点P的坐标是(2)(1)96.3-17（1+2+22同理，如果P,P=2PP：（图6.3-17(2)，那么点P的坐标是（结论：中点坐标公式若点Pi，P2的坐标分别为(x,J),(x2,2)，线段PiPz的中点P的坐X+X2X=2标为(x,y)，则yi+y2y:2探究：如图，线段P.P2的端点Pr，P的坐标分别为(,)(2,2），点P是直线PP上的一点，当PP=PP时，点P的坐标是什么？
结论：中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为 ( , ),( , ) 1 1 2 2 x y x y ， 线段 P1P2 的中点 P 的坐 标为 (x, y) ，则 + = + = 2 2 1 2 1 2 y y y x x x 。 探究：如图，线段 P1P2 的端点 P1，P2 的坐标分别为 ( , ),( , ) 1 1 2 2 x y x y ，点 P 是直线 P1P2 上的一点，当 P1P = PP2 时， 点 P 的坐标是什么？
P(++通过探究得出一般【答案】结论，通过学生解1+元1+决问题的能力。三、达标检测1.若a=(2，1)，b=（1，0)，则3a-2b的坐标是（A. (5, 3)B.(4,3)C.(8,3)D. (0, -1)通过练习巩固本节所学知识，通过学【解析】3a-2b=3(2, 1)-2(1, 0)=(4, 3).生解决问题的能力，感悟其中蕴含
【答案】 ) 1 , 1 ( 1 2 1 2 + + + x + x y y P 通过探究得出一般 结论，通过学生解 决问题的能力。 三、达标检测 1．若 a＝(2，1)，b＝(1，0)，则 3a－2b 的坐标是( ) A．(5，3) B．(4，3) C．(8，3) D．(0，－1) 【解析】 3a－2b＝3(2，1)－2(1，0)＝(4，3)． 通过练习巩固本节 所学知识，通过学 生解决问题的能 力，感悟其中蕴含